Местные власти отнеслись к проделанной Кеплером работе весьма холодно, недвусмысленно дав ему понять, что было бы лучше «эту работу оставить, а довести до конца более важные вещи, такие, как порученные ему «Рудольфинские таблицы» и географическую карту». Однако Кеплер не внял этому весьма категорическому совету и взялся за переделку своей книги, ставя на этот раз целью сделать ее доступной для широких кругов лю­дей, нуждающихся в разработанных им приемах в своей практической деятельности, но не знающих латыни и не разбирающихся в тонкостях математики. С этой целью Кеплер упрощает изложение, меняет последовательность расположения материала, прилагает сведения о системах мер, древних и употреблявшихся в то время, а также таблицы их перевода из одной в другую, но главное — он переводит свое сочинение на немецкий язык. Последнее обстоятельство было очень важным, по­скольку научных книг на немецком языке тогда издавалось мало, а математическая терминология почти не была разработана. Поэтому значение появившейся уже весной 1616 г. на книжной ярмарке во Франкфурте книги под названием: «Ausszug auss der uralten Messekunst Archimedis», т. е. «Извлечения из древнего искусства измерения Архимеда .», состоит не только в привлече­нии внимания к возможностям математических методов широких слоев населения, но и в выполненной здесь боль­шой работе по созданию немецкой математической терми­нологии. Этим самым, а также изданием нескольких трак­татов астрономического содержания на родном языке (и подготовкой нескольких рукописей, оставшихся неиздан­ными) Кеплер внес существенный вклад в развитие язы­ка немецкой естественнонаучной литературы.

Книга «Новая стереометрия» состояла из трех частей. В предисловии Кеплер пишет: «Поскольку . винные бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром — фигура­ми правильными — тем самым они поддаются геометриче­ским измерениям, принципы которых стоит привести в начале настоящего исследования, как они установлены Архимедом, конечно лишь настолько, насколько этого достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, а полные и во всех частях строгие доказательства следует искать в самих книгах Архимеда, если кто не убоится тер­нистого пути их чтения. Впрочем, на некоторых мостах, которые не затронул Архимед, нужно остановиться по­подробнее, чтобы и более ученые люди нашли чем вос­пользоваться и чему порадоваться». Таким образом Кеплер подчеркивает, что в силу практической направ­ленности своего труда он не задерживается на положе­ниях своего великого предшественника, отсылая более требовательных читателей к первоисточникам, но здесь же он говорит и о том, что выходит за пределы достигну­того Архимедом.

Первая часть сочинения, озаглавленная «Стереометрия правильных кривых тел», в свою очередь состоит из двух частей, в первой из которых — «Архимедовой стереомет­рии» Кеплер приводит 16 теорем, известных еще Архиме­ду, но различие в подходе Кеплера и подходе Архимеда к решению соответственных задач становится заметным с самого начала. Остановимся на примере с площадью круга. Произве­дение Архимеда «Измерение круга» начинается сле­дующим предложением: «Всякий круг равен прямоуголь­ному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — осно­ванию треугольника». Это предложение Архимед доказы­вает косвенно (методом исчерпывания), показывая с по­мощью вписанных и описанных правильных многоуголь­ников, что площадь круга будет не больше и не меньше площади указанного треугольника.

Кеплер рассуждает так: «Архимед пользуется косвен­ным доказательством, приводящим к невозможности, о чем многие и многие писали. Мне же кажется, что смысл этого [доказательства] следующий: окружность круга содержит столько же частей, сколько точек, именно, бес­конечное число. Каждую из них рассмотрим как основа­ние некоторого равнобедренного треугольника со сторо­ной АВ, и таким образом в площади круга окажется бес­конечное множество треугольников, соединенных верши­нами в центре А. Пусть, далее, окружность круга вытя­нута в прямую, и пусть ей равна ВС, а АВ к ней перпен­дикулярна (см. Рис. 6). Тогда основания всех этих бес­численных треугольников, или секторов, будут представ­ляться расположенными друг за другом по прямой ВС; пусть одно из таких оснований будет BF, и какое-нибудь равное ему — DЕ. Соединим точки F, Е, D с А. Таких треугольников ABF, АDЕ над прямой ВС получится столько же, сколько секторов в площади круга, и их осно­вания BF, DЕ и общая высота АВ будут такие же, как у секторов; следовательно, все эти треугольники ABF, АDЕ и т. д. будут равновелики (между собой) и каждый из них будет равновелик соответствующему сектору круга. А значит, и все вместе эти треугольники, имеющие основа­ния на линии ВС, т. е. треугольник ABC, всеми ими со­ставленный, будет равновелик сумме всех секторов круга, т. е. составленной ими площади круга. Это самое и имеет в виду архимедово приведение к нелепости». Архимед действительно мог иметь это в виду. Но учи­тывая, что между элементарным круговым сектором и элементарным треугольником имеется то различие, что дуга в основании сектора и радиус круга будут при ко­нечном n всегда больше соответственных линий элемен­тарного треугольника, для точности вывода следует пока­зать, что разность между площадями круга и треугольни­ка при увеличении числа делений может стать действи­тельно меньше любого данного сколь угодно малого числа (т. е. что эта разность представляет собой бесконечно ма­лое). Архимед своими рассуждениями это показывает, Кеплер — нет. У Кеплера хорды окружности переходят в точки, каждая из которых продолжает рассматриваться как основание некоторого равнобедренного треугольника. Получается, что площадь круга рассматривается Кепле­ром как какая-то сумма всех радиусов, а треугольника — как совокупность точек всех прямых, выходящих из одной из его вершин.

Излагая задачи из сочинений Архимеда, Кеплер не пользуется архимедовыми методами доказательств, а применяет суммирование бесконечно боль­шого числа «актуализированных» бесконечно малых. Кеплер говорит, что шар «как бы» содержит бесконечно много конусов, вершины которых лежат в центре, а основания — на по­верхности шара, и находит таким образом его объем. Вообще из его неоднократного «как бы» («veluti») вид­но, что он не стремится дать точное доказательство, а апеллирует только к наглядности. В некоторых местах Кеплер отказывается от доказательств Архимеда, назы­вая их чрезвычайно глубокими, но трудными для понима­ния, и вместо них приводит рассуждения, которые уста­навливают «вероятность» того или другого предложения из соображений индуктивного или интерполяционного характера.

Так Кеплеру удалось преодолеть недостатки метода исчерпывания древних. Ему, разумеется, не было извест­но содержание архимедового «Послания к Эратосфену», обнаруженного только в 1906 г. Из «Послания» становит­ся ясно, что и Архимед пользовался инфинитезимальньми соображениями, довольно близкими к кеплеровым.