1.3 Частотные характеристики непрерывных и

дискретных систем

Частотные характеристики линейных непрерывных систем находятся из передаточных функций после подстановки в них s=jw и выделения действительной мнимой частей, т.е.

W0(jw)=U0(w)+jV0(w), (1.8)

где U0(w) и V0(w) - соответственно действительная и мнимая частотные характеристики.

Пользуясь выражением (1.8), в декартовой системе координат строят амплитудно-фазовые частотные характеристики W0(jw). Если перейти к полярной системе координат, то выражение (1.8) можно переписать в виде

(1.9)

где и q0(w) - соответственно амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Из выражений (1.8) и (1.9) можно найти формулы для вычисления амплитудной и фазовой частотных характеристик:

(1.10)

Частотные характеристики линейных дискретных систем находятся путем подстановки в передаточные функции .

На практике амплитудные и фазовые частотные характеристики строят на полулогарифмической бумаге. Тогда ось w размечают в логарифмическом масштабе, где изменение частоты в 10 раз называется декадой, амплитуду откладывают в децибелах и фазу q в градусах.

1.4 Анализ устойчивости непрерывных и дискретных систем

Системы стабилизации должны обеспечивать устойчивость и заданную точность регулирования отклонений углов и координат центра масс ЛА от программных значений. При этом могут налагаться ограничения на значения отдельных параметров системы (управляющие воздействия или производные управляющих воздействий). Отклонения углов и угловых скоростей могут ограничиваться для определенных возмущающих воздействий.

Задача обеспечения устойчивости является доминирующей при синтезе систем стабилизации ЛА. Движение системы на конечном интервале времени считается устойчивым, если на этом интервале при заданных начальных условиях и действующих возмущений его параметры не превышают заданных ограничений - техническая устойчивость. Если система содержит существенные нелинейности, то для устойчивости при заданных начальных условиях и действующих возмущений необходимо чтобы при начальной амплитуде периодической составляющей, превышающей её установившееся значение с течением времени эта амплитуда стремилась к своему установившемуся значению, а параметры установившегося движения не превышали заданных ограничений.

Для анализа устойчивости линейной или линеаризованной системы используется понятие асимптотической устойчивости, при этом обычно Используется стационарные математические модели, полученные с использованием метода замороженных коэффициентов. Система является асимптотически устойчивой, если:

·для непрерывных систем - корни характеристического полинома лежат в левой полуплоскости;

·для дискретных систем - корни характеристического полинома лежат внутри окружности единичного радиуса.

Устойчивость непрерывных систем может исследоваться с помощью первого метода Ляпунова, а также алгебраических критериев (Гурвица, Рауса и Льенара-Шепара). Для дискретных систем используется критерий Кларка и Шур-Кона. Основным недостатком применения данных критериев следует считать невозможность получения при этом оценок качества и точности. Пользуясь ими для систем высокой размерности, проектировщик не может дать рекомендаций по выбору параметров, не только обеспечивающих запасы устойчивости, но и удовлетворяющих требованиям к качеству и точности процессов регулирования. Следует отметить, что на устойчивость дискретных нелинейных систем большое влияние оказывает выбор такта квантования.

Частотные критерии устойчивости предполагают использование передаточных функций для описания системы регулирования и справедливы при её полной наблюдаемости и управляемости. Тогда критерий устойчивости по Ляпунову аналогичен критериям Михайлова, Михайлова-Найквиста и D-разбиениям Неймарка. Эти критерии применимы к анализу как непрерывных, так и дискретных систем. Однако в первом случае они базируются на методах s-преобразований, во втором - z-преобразований. Положив s=jw или z=ejwT0, строятся частотные характеристики, по которым определяются устойчивости систем регулирования по фазам и модулям и с помощью специальных номограмм оценивают показатели качества и характеристики точности. Большим преимуществом частотных критериев устойчивости является возможность их распространение и на многие типы нелинейных систем.

При проектировании систем стабилизации ЛА чаще всего используются алгебраические и частотные критерии, реже корневые.

1.4.1 Корневые критерии заключаются в вычислении корней

характеристического полинома замкнутой системы.

1.4.2 Алгебраические критерии устойчивости не требуют выполнения вычислительной процедуры определения корней характеристического уравнения и при относительно невысоких порядках дифференциальных уравнений (до 15-го) позволяют находить условия устойчивости автономных замкнутых систем.

А(s)=ansn + an-1sn-1+ an-2sn-2+…+a0. (1.11)

Критерий Гурвица. Корни характеристического уравнения (1.11) n-го порядка будут иметь отрицательные действительные части, если составленный из его коэффициентов аi> 0 определитель

(1.12)

и все его диагональные миноры

(1.13)

положительны.

Критерий Рауса. Зная коэффициенты характеристического уравнения, составляют таблицу Рауса(табл. 1.1). Для того чтобы замкнутая система была устойчива асимптотически, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты Рауса первого столбца таблицы при аi>0 были положительны, т.е. сi,1>0 (i=1,2,…). Для вычисления элементов табл. 1.1 можно использовать следующие рекуррентные формулы:

для первой строки таблицы

(1.14)

для второй строки таблицы

(1.15)

для остальных строк

(1.16)

Таблица 1.1