где - некоторое число.

Нетрудно выяснить смысл числа . Выразив из последнего выражения , получим :

Таким образом, величина есть тангенс угла наклона семейства прямых к оси и, следовательно, отражает предпочтение "риск-доходность" инвестора, выбравшего на эффективном фронте точку, касательную с данной прямой, в качестве оптимального портфеля.

При увеличении а прямая (2.6) приближается к эффективному фронту и при каком-то значении - минимальном! - касается его. Подставив в (2.6) вместо и соответственно (2.1) и (2.2) после решения задачи

(2.7)

можно получить вектор решений как функций от : . При изменении от 0 до вектора решений опишут все точки касания, т.е. весь эффективный фронт.

Как видно из (2.7), точка определяет эффективный портфель с минимальным риском, а - портфель с максимально возможной доходностью и риском

Марковиц доказал, что функции являются непрерывными кусочно-линейными, т.е. при изменении от 0 до их производные по могут терпеть разрыв. Те значения , в которых это происходит хотя бы для одной из , были названы угловыми (см. Рис.2.4), а соответствующие им портфели - угловыми портфелями. Марковиц установил замечательное свойство угловых портфелей: участок эффективного фронта между смежными угловыми портфелями описывается линейной комбинацией этих портфелей. Иначе, если и - смежные угловые точки, то для любого | < < векторы, вычисляемые как

(2.8)

определяют участок эффективного фронта. При отсутствии ограничений-неравенств функции - линейные, точка является угловой по определению.

Метод нахождения угловых портфелей, названный Марковицем методом критических линий, с последующим нахождением как оптимального портфеля, так и эффективного фронта широко используется и в настоящее время.

Из рассмотрения задачи Марковица видно ее преимущественно микроэкономическое содержание, поскольку возможные последствия решений инвестора для состояния рынка не рассматриваются, а внимание акцентировано на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный портфель из рисковых активов на основе собственных оценок их доходности и риска.

2.3. Развитие результатов Г. Марковица в трудах Д. Тобина

Влияние теории Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х годов работ Тобина по аналогичной тематике, но имеющих другой подход. В работах Тобина основной темой становится анализ факторов, побуждающих инвесторов формировать портфели активов вместо держания капитала в какой-то одной форме (например, налично-денежной). Поэтому Тобин включил в анализ безрисковые активы и главной задачей и в теории, и на практике считал оптимальное распределение капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями.

Если инвестор распределил капитал между безрисковыми и рисковыми активами в пропорциях: - в безрисковые, - в рисковые, то ожидаемая доходность его капитала (портфеля) определяется:

, (2.9)

где - доходность безрисковой, а - ожидаемая доходность рисковой части портфеля.

Риск такого портфеля определяется только его рисковой частью:

, (2.10)

где - дисперсия доходности рисковой части портфеля.

Используя (2.9) и (2.10) , после исключения получаем:

. (2.11)

(2.11) показывает линейную зависимость доходности портфеля сверх гарантированного значения и риска портфеля.

Поведение инвестора, формирующего оптимальный портфель из рисковой и безрисковой частей, удобно представить графически на плоскости - рис.2.5.

Если инвестору даны только один рисковый и один безрисковый актив, то все варианты распределения капитала в соответствии с (2.11) отображаются отрезком прямой линии (рис.2.5). Точка соответствует вложению всего капитала в безрисковый актив при , точка - вложению только в рисковый актив при . Все промежуточные варианты соответствуют внутренним точкам отрезка, а возможность заимствования средств ( по безрисковой ставке) с их вложением в рисковый актив соответствует продолжению прямой вправо при .