Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания – пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. Математика таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью инткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза»

В теоретическом плане априориз представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве.

Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем определенное единство в методологических требованиях: от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода.

Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.

1.4. Математика в XX в.

Факты, требующие перестройки представления о сущности математики как науки, по своему характеру могут быть самыми разными. Такими фактами могут быть отдельные теоремы, новые математические теории, новые явления в прикладной математике и т. д. История показывает, что на каждом конкретном этапе философия математики вращается вокруг какого-то определенного круга событий в математике, в какой-то мере, может быть, даже абсолютизируя его и преувеличивая его значимость. Для философии математики XX в. таким математическим базисом являются основания математики, попытки математиков устранить противоречия из теории множеств, а в общем плане – найти средства, гарантирующие надежность математических рассуждений.

3. Философия и математика

Подобно тому как основным вопросом философии является вопрос об отношении сознания к материи, стержневым вопросом философии математики является вопрос об отношении понятий математики к объективной реальности, другими словами, вопрос о реальном содержании математического знания. От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот или иной ученый, зависит характер освещения им всех остальных методологических проблем математики, а также то, к какому философскому лагерю он примыкает.

Прежде чем перейти к освещению вопроса о месте математики в системе науки, необходимо предварительно выявить хотя бы в общих чертах объем, содержание и соотношение таких понятий, как философия, обычные науки, специальные науки, частные науки.

Под обычными науками мы понимаем все науки, за исключением математики, которая является необычной наукой. Термин специальные науки обозначает все науки, вкючая математику, но исключая, разумеется, философию. Частные же науки – это те науки, которые изучают обхекты в рамках какой-либо одной формы движения материи (или даже части ее) – физика, химия, биология, и т. д. Стало быть, частные науки – это специальные науки за вычетом математики.

Таким образом, математику, как и философию можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считаеся всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Возникает вопрос – в чем же существенной различие между философией и математикой, изчающими одну и ту же реальную действительность?

Самый общий ответ на него, заключается в том, что философия и математика используют разные способы описания объективной действительности и соответствующие им языки: в первом случае мы имеем дело с естественным, а во втором случае – с искусственным языком, предполагающим формально-логический метод описания действительности.

Как известно, философия изучает все явления действительности под углом всеобщих закономерностей и дает, по существу, универсальный метод познания и преобразования природного и социального окружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), и качественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболее общих принципов, законов и категорий.

Иное дело математика. Ее задача состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математичекого аппарата, то есть формально-логическим способом. Но на основании этого утверждения нельзя делать вывод о том, что математика в отличие от философии отображает лишь количественную сторону объектов предметного мира. Нельзя потому, что лишь в исходных понятиях математики воспроизводится чисто внешняя (количество в широком, философском смысле) сторона этих объектов. Развитая же математическая теория выражает не только внешнюю, чисто количественную сторону предметов реального мира, но и в значительной степени их внутреннюю, качественную сторону.

Итак, раздел между философией и математикой проходит не по линии категорий форма и содержание, качество и количество или каких-то иных категорий философии. Различие между этими двумя способами описания действительности заключается в ином – в методе и языке описания процессов внешного мира, в том, что математика в любом случае предполагает формализацию в широком смысле слова, формальный способ описания изучаемых явлений. Язык математики – это формализованный язык, со всеми его недостатками и достоинствами.