Важным моментом здесь является то, что проецирование с плоскости α на плоскость β происходит ПО ОДНУ СТОРОНУ от «безо́бразных» прямых – в нашем случае это верхняя кромка плоскости α и левая кромка плоскости β.

Как показывают наблюдения, если параллельные или пересекающиеся прямые заменить окружностью, то получается тот же результат (рис. 7): вновь образуется прямая, содержащая точки пересечения зелёных прямых.

Как мы покажем далее, образом окружности при центральной проекции могут быть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола. Значит, если наше наблюдение будет доказано для окружности, то тем самым оно будет доказано и для других трёх фигур.

Пусть точка М'(х'; z) окружности, расположенной в плоскости α, отображается в точку М(х; у), расположенную в плоскости β (рис. 8). Плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Центр проекции – точка Р перпендикуляра РА к плоскости α. Длина РА равна «h». Расстояние от основания перпендикуляра до прямой пересечения плоскостей АО равно «а». Пусть окружность имеет радиус «R» и касается прямой пересечения плоскостей в точке О. Тогда её уравнение (x')2 + (z – R)2 = R2.

Из подобия треугольников Ару и Оzy а из подобия треугольников АОх' и АуМ

Из первого равенства выражаем из второго

Подставляем в уравнение окружности:

После преобразований а2х2 + (у(h – R) – aR)2 = R2(a + y)2,

a2x2 + (h – R)2y2 – 2aR(h – R)y = 2aR2y + R2y2,

a2x2 + (h2 – 2hR)y2 – 2aRhy = 0, (•)

a2x2 + (h2 – 2hR)(y2 – 2yּ) = 0.

Выражение с переменной «у» дополним до полного квадрата.

a2x2 + (h2 – 2hR)(y2 – 2yּ+ ()2) =

И, наконец, (••)

При h > 2R (когда горизонтальный проецирующий луч проходит выше окружности) это уравнение эллипса. Эллипс, как образ окружности, легко можно представить и увидеть на рис. 9.

Если h < 2R, то в уравнении (••) первое слагаемое будет отрицательным, и тем самым будет задаваться гипербола, изображённая красным цветом на рис. 10.

Если же h = 2R, то уравнение (•) превратится в у = , что задаёт параболу, изображённую красным цветом на рис. 11.

Теперь докажем, что в случае с окружностью точки пересечения зелёных прямых лежат на одной прямой.

Воспользуемся методом координат (рис. 12).

Пусть центр окружности радиуса R располагается в точке (а; 0), причём, а > R, таким образом, её уравнение (х – а)2 + у2 = R2.

И пусть прямые, пересекающие окружность, выходят из начала координат. Как будет видно в конце, достаточно ограничиться только двумя из них: у = k1x и y = k2x. Точки пересечения прямых с окружностью соответственно А, В, С, D.

Подставим в уравнение окружности вместо «у» выражение k1x:

(k12 + 1)x2 – 2ax + a2 – R2 = 0.

Решив это уравнение относительно переменной х, получим абсциссы точек А и В: xA,B = yA,B = k1 где знак «+» соответствует точке А, а «–» точке В,

D1 = a2 – (a2 – R2)(k12 + 1).

Аналогично хС, D = yC,D = k2 где знак «+» соответствует точке C, а «–» точке D, D2 = a2 – (a2 – R2)(k22 + 1).

Составим уравнение прямой АD, зная координаты точек А и D.

или Подставим соответствующие значения:

Умножив и разделив выражение на сопряжённое, получим , аналогично

Подставив это в выражение для у, получим:

, после сокращений

Это и есть уравнение АD.

Составим уравнение СВ. Его можно получить из уравнения АD простой переменой индексов.

Приравнивая правые части, находим абсциссу точки пересечения зелёных прямых:

или, окончательно,

Как видим, абсцисса точки пересечения в независимости от угловых коэффициентов k1 и k2 одна и та же: какие бы мы секущие из точки О ни проводили, точки пересечения зелёных прямых располагаются таким образом, что их абсциссы неизменны, то есть, в нашем случае на вертикальной прямой. Приближая секущие к положению касательной, естественно предположить, что эта прямая соединяет точки касания касательных, проведённых из начала координат. Действительно, из подобия прямоугольных треугольников откуда

Что бы изменилось, если бы точка О была внутри окружности? В вычислениях – ничего. Геометрически – четырёхугольник АВDС, как и в случае с параллельными прямыми, стал бы самопересекающимся: в нём диагонали и две стороны поменялись бы местами. Но прямые AD и ВС пересекались бы на одной прямой (рис. 12‛), перпендикулярной к прямой, проходящей через точку О и центр окружности.

Случай, когда зелёные прямые не пересекаются, - если точка О является центром окружности.