Рассмотрим параллельные прямые а, b и точку О. Через точку О проведём прямые α, β, γ, δ, пересекающие пару прямых а и b. Соединим точки пересечения попарно так, как показано на рис. 1 (зелёный цвет). Оказывается, что точки пересечения последних прямых (обведённые зелёными кружочками) лежат на одной прямой (красный цвет).

Докажем это. В трапеции АВСD треугольники АМD и ВМС подобны. Высоты, проведённые к сторонам АD и ВС, относятся так же, как сами эти стороны. А они, в свою очередь относятся как АО и ВО – из подобия треугольников ОАD и ОСВ, или, что то же самое, как расстояния от точки О до прямых а и b. Поскольку прямые ОА и ОD произвольные, то утверждение доказано: то есть, каковы бы эти прямые ни были, точка М будет находиться на одном и том же расстоянии от а и b.

Ещё одно доказательство: методом координат (рис. 2).

Пусть данные параллельные прямые – это у = d1 и у = d2, точка О – начало координат; вместо четырёх прямых α, β, γ, δ ограничимся только двумя: y = k1x и y = k2x ( как будет видно в дальнейшем, этого достаточно).

Найдём координаты точек пересечения прямых А, В, С, D.

уA = d2, хА = yB = d1, xB = yC = d1, xC = yD = d2, xD =

Уравнение прямой АВ: или

y(d2k2 – d1k1) = k1k2(d2 – d1)x – k1d1d2 + k2d1d2. (•)

Уравнение прямой СD: или

y(d1k2 – d2k1) = k1k2(d1 – d2)x – k1d1d2 + k2d1d2. (••)

Теперь найдём координаты точки пересечения прямых АВ и СD – точка М (впрочем, достаточно только ординаты). Для этого сложим почленно уравнения (•) и (••), после чего получим

уМ =

Как видим, ордината точки М не зависит от углов наклона прямых у = k1x и y = k2x, а зависит лишь от расстояния между прямыми у = d1 и y = d2 и от расстояния до них от точки О. Это значит, что какие бы мы прямые не провели из точки О, точки пересечения ЗЕЛЁНЫХ прямых будут находиться на одном и том же расстоянии от параллельных прямых, т.е. лежать на одной прямой, причём, параллельной исходным параллельным прямым.

Можно также заметить, что результат не изменится, если точку О брать между параллельными прямыми. Если, скажем, нижняя прямая проходит в нижней полуплоскости, то величина d1 будет отрицательной, и значение уМ может оказаться отрицательным: всё будет зависеть от того, к какой из параллельных прямых точка О будет ближе. Главное же заключается в том, что при этом четырёхугольник АСВD (рис. 2) станет самопересекающимся: диагонали и две стороны поменяются местами, в силу чего красная прямая будет располагаться не между данными параллельными прямыми, а вне их (рис. 2‛).

Единственный случай, когда бы мы не получили красной прямой, - это если бы точка О была ровно посредине между данными параллельными прямыми. Тогда четырёхугольник АDВС стал бы параллелограммом, и зелёные прямые не пересеклись бы.

Что будет, если вместо параллельных прямых а и b взять пересекающиеся прямые? Эксперимент показывает (рис. 3), что и в этом случае точки пересечения зелёных прямых лежат на одной прямой. Однако доказать это с помощью подобий или методом координат не так-то просто.

Обратимся к методу центральной проекции. Даны две плоскости α и β, точка О – центр проекции (рис. 4). Пусть на плоскости α имеется фигура А. Если прямые, проходящие через точку О (назовём их проецирующими), проходят через фигуру А и пересекают плоскость β, то на плоскости β образуется фигура В – образ фигуры А в центральной проекции. Можно наоборот: фигуру А называть образом фигуры В в той же проекции. Если одна из указанных прямых пересекает обе плоскости в двух различных точках, то одну из них можно называть образом другой. Может оказаться, что для некоторых точек одной плоскости не найдётся образов в другой. Это будет, если проецирующая прямая параллельна какой-нибудь плоскости. Понятно, что все такие «безо́бразные» точки располагаются на прямой, параллельной другой плоскости. Если эта прямая проходит через фигуру А, то её образ будет разорван: одна часть фигуры В будет по одну сторону от прямой пересечения плоскостей, другая – по другую.

Очевидно, что если прямая не «безо́бразная», то она отображается в прямую: все прямые, проходящие через точку О и одновременно через данную прямую, образуют плоскость, пересекающую другую плоскость по прямой, которая и будет образом данной. Правда, если данная прямая пересекает «безо́бразную» прямую, то у её образа будет на одну точку «больше», так как для точки пересечения образа не существует. Если две прямые в плоскости α пересекаются не на «безо́бразной» прямой, их образы будут также пересекающимися прямыми: в той точке будет пересекать плоскость β прямая пересечения плоскостей, проходящих через точку О и каждую из данных прямых.

Поставим важный для нашей задачи вопрос: могут ли параллельные прямые отобразиться в пересекающиеся? Обратимся к рис. 5.

Пусть плоскости α и β перпендикулярны, центр проекции – точка Р – конец перпендикуляра РА к плоскости β, прямые а и b (зелёный цвет), лежащие в плоскости α, параллельны между собой и перпендикулярны плоскости β. Тогда образы а и b – пересечение плоскостей, проходящих через точку Р и каждую из прямых а и b, с плоскостью β – красные прямые. И эти красные прямые пересекаются в точке А.

Заметим, что зелёные прямые можно считать образами красных.

Теперь мы можем решить задачу (см. рис. 3) о принадлежности точек пересечения зелёных прямых одной прямой (красный цвет) в случае, когда прямые а и b пересекаются.

Обратимся к рис. 6. пусть прямые а и b, лежащие в плоскости β, пересекаются. Из точки О, лежащей в той же плоскости, выходят четыре прямые, пересекающие а и b. Точки пересечения попарно соединены зелёными прямыми. Нас интересует: лежат ли точки пересечения последних на одной прямой?

Сделаем так, чтобы прямые а и b стали образом параллельных прямых – прямые синего цвета в плоскости α. При этом четыре прямые, выходящие из точки О будут образом четырёх прямых, выходящих из точки О΄ и пересекающих синие прямые. Зелёные прямые плоскости β – образ зелёных прямых плоскости α. Как мы уже знаем, точки пересечения зелёных прямых в плоскости α лежат на одной прямой. А поскольку прямая отображается в прямую, то и в плоскости β точки пересечения зелёных прямых лежат на одной прямой. Легко понять, что эта прямая проходит через точку А.