§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.

Матрица вида:

- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

.

Прибавив первые две строки к третьей, получим:

.

Вынесем общий множитель из последней строки:

.

Так как

,

то

.

С другой стороны, по определению детерминанта имеем:

Следовательно, выполняется тождество

(1)

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1. Уравнение

(2)

не имеет решений в натуральных числах

Доказательство: Если - вещественные положительные числа, не все равные между собой, то

(3)

Пусть - не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа и , не все равные между собой, такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно,

,

. (4)

Так как , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде ; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического).

Пусть и - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две возможности: либо числа все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.

В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и , и мы имели бы:

- противоречие.

Значит, не все три числа равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем

,

откуда

.

Таким образом, доказано что уравнение

не имеет решений в натуральных числах .

Предложение 2. Уравнение

разрешимо в натуральных числах .

Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство

- противоречие. Таким образом, должно быть , и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что .

Поэтому получаем

.

Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах .

Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка)

где - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство

. (5)

Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов.

Доказательство: Пусть число делится на простое число вида :

.

Требуется доказать, что частное имеет вид .

Предположим, что задача уже решена, т.е.

, (6)

и с помощью анализа попробуем найти искомые числа и . Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств.

и

перемножив правые части этих равенств, получим:

отсюда имеем: