Содержание

Основные идея темы „Обыкновенные дроби"

Введение понятия дроби. Преобразования дробей

Действия над дробями

Умножение дроби на целое число

Деление дроби на целое число

Умножение на дробь

Деление на дробь

Литература Основные идея темы „Обыкновенные дроби".

1) введение дробных чисел - новый этап расширения числовой области;

2) новое понятие числа требует введения нового определения понятия равенства чисел, суммы и произведения;

3) введение дробных чисел снимает ограничения с действия де­ления целых чисел (кроме деления на нуль);

4) дробные числа подчиняются всем законам арифметических дей­ствий, установленным выше для чисел натуральных.

Изучение дробных чисел в школьном курсе разбивается на два этапа: на первом рассматриваются понятие дроби, сложение и вычи­тание, а также умножение и деление на натуральное число; на вто­ром - умножение и деление на дробь. На первом этапе определения действий над дробями мало отличаются от определений соответ­ствующих действий над целыми числами; первое расширение понятия об арифметическом действии дается на примере умножения на дробь.

Многие вопросы, входящие в первый этап, хотя и не в полном объеме, изучаются в начальной школе. В V классе средней школы прорабатывается систематический курс дробей, включающий вопросы обоих этапов изучения.

Основные вопросы систематического курса дробей в средней школе:

1) образование дробей;

2) преобразования дробей;

3) действия над дробями.

Введение понятия дроби. Преобразования дробей

Хотя в курсе начальной школы учащиеся получили представление о простейших дробях, необходимо эту тему начинать с углубления и закрепления понятия о дроби. При этом следует исходить из рассмотрения конкретных примеров величин. Необходимо учитывать, что исторически дроби возникли в связи с потребностью измерять. В практике измерения простейшими задачами являются определение отрезка, площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. Для этих задач сначала нужны натуральные числа, дробные числа (а потом и иррациональные числа). Поэтому для иллюстрации различных вопросов школьного курса дробей лучше всего пользоваться долями линейной единицы, квадратичной единицы и кубической единицы.

Делая соответствующий рисунок в тетрадях, учащиеся могут сами находить доли линейного дециметра, квадратного дециметра, чертить раз­вертки кубического дециметра и его долей и дома склеивать соответствую­щие модели. Наглядные пособия при изучении дробей.

Рис. 2.

Рис. 3. Рис. 4

В результате такой работы у учащихся создается отчетливое представление о дроби как совокупности равных долей единицы, и сами учащиеся составляют соот­ветствующее определение. Мно­гие учебники сразу же рассматри­вают второй способ получения дроби при делении целого числа на равные части. На ряде кон­кретных примеров показывают, что при делении меньшего числа на большее получается в частном одна или несколько долей единицы, т.е., согласно ранее веденному определению, рассуждения ведутся Рис. 5. так.

Рис. 6.

представить каждый метр веревки разделенным на 4 равные части, тогда веревка будет содержать 12 четвертей метра, разделив 12 четвертей метра на 4 равные части, получим в каждой метра. Это рассуждение иллюстрируется рисунком 6.

Рассматривается второй способ рассуждений: чтобы делить 3 яблока (или 3 листа бумаги) 4 детям, можно каждое яблоко разделить на 4 равные части и каждому дать по одной четверти. Каждый ребенок получит яблока.

Основная мысль приведенных рассуждений та, что доли единицы можно взять за новые счетные единицы и с полученными числами производить действия так же, как, с целыми именованными числами. Но почему же начинать с деления? Деление определяется как дей­ствие, обратное умножению. Удовлетворяет ли рассмотренное деление этому определению? 3 : 4 = ; ·4 будет ли равно 3? Все это требует обоснования. Без этого учащиеся не будут связывать этот случай деления с определением деления.

После того как введено понятие дроби, необходимо ввести по­нятия равенства и неравенства дробей. В теоретических курсах эти понятия вводятся путем определений. В школьном курсе необходимо показать предварительно целесообразность вводимых определений путем рассмотрения конкретных примеров.

Составляя дроби из долей одной и той же единицы, учащиеся убеждаются, что дроби могут быть меньше единицы, равны единице, больше единицы. Эти наблюдения и следует положить в основу определений и классификации дробей на неправильные и правиль­ные. Формальный же признак, указывающий на соотношение между числителем и знаменателем у правильных и неправильных дробей, следует установить, как следствие определения. Обращение сме­шанного числа в равную ему неправильную дробь и исключение целого числа из неправильной дроби следует начать с рассмотрения конкретных примеров. При составлении отрезков из долей линейной единицы, возникает вопрос: сколько целых линейных единиц содер­жится в данном отрезке? При составлении прямоугольников из долей квадратной единицы возникает вопрос: сколько квадратных единиц можно составить из данного прямоугольника? Решение этих вопро­сов приводит к исключению целого числа из неправильной дроби.

Не следует спешить с выводом формального правила для этих, преобразований, следует заставлять учащихся проводить соответ­ствующие рассуждения, основанные на составе единицы из долей этой единицы. Например, при обращении смешанного числа 2 в неправильную дробь ведутся следующие рассуждения:в единице 3 третьих доли, в двух единицах 3·2 третьих долей, всего (3·2+2).

Отсюда

В методической литературе поднимался вопрос о включении в школьный курс обращения смешанного числа в неправильную дробь и обратного преобразования после изучения деления дроби на целое число и деления дробей с одинаковыми знаменателями, так как при первом преобразовании производится умножение дроби на целое число и сложение дробей, при втором — деление дробей с одинаковыми знаменателями. Но принятое обычно расположение материала имеет преимущество: возможно рассматривать действия над всеми видами дробей и смешанными числами одновременно, причем эти преобразования не нарушают системы изучения действий, связаны с конкретными представлениями дробей и сводятся к дей­ствиям над целыми числами.