Метод СимпсонаРефераты >> Математика >> Метод Симпсона
При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что . Если имеется только таблица значений , то проверку «на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.
Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами, причем . Вычисление значений . Тогда (14).
За меру точности метода Симпсона принимают величину :
5. Примеры
Пример 1. Вычислить интеграл по формуле Симпсона, если задана таблицей. Оценить погрешность.
Таблица 3.
| 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 |
| 1 | 0.995 | 0.98 | 0.955 | 0.921 | 0.878 | 0.825 | 0.765 | 0.697 |
Решение: Вычислим по формуле (1) при и интеграл .
.
По правилу Рунге получаем Принимаем .
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение: Имеем . Отсюда h==0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.
Таблица 4.
Вычисление интеграла по формуле Симпсона
i |
|
|
|
0 | 0 | y0=1,00000 | |
1 | 0.1 | 0,90909 | |
2 | 0.2 | 0,83333 | |
3 | 0.3 | 0,76923 | |
4 | 0.4 | 0,71429 | |
5 | 0.5 | 0,66667 | |
6 | 0.6 | 0,62500 | |
7 | 0.7 | 0,58824 | |
8 | 0.8 | 0,55556 | |
9 | 0,9 | 0,52632 | |
10 | 1,0 | 0,50000=yn | |
å | 3,45955(s1) | 2,72818(s2) |
По формуле Симпсона получим:
Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена . Очевидно: