Обозначим число каналов, занятых в момент . Тогда можно показать, что: если , во-первых, моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий, во-вторых, длительности разговоров последовательных абонентов суть независимые (между собой и от моментов поступления вызовов) одинаково распределенные случайные величины, то случайный процесс , обладает эргодичным распределением, т.е. существуют [независящие от начального распределения ] пределы

причем

(*)

где - произведение интенсивности потока поступлений вызовов на среднюю длительность разговора отдельного абонента.

Кроме того, в этом случае , и их общее значение равно .

Формулы (*), называемые формулами Эрланга, используются для расчета минимального количества каналов линии связи, обеспечивающей заданную вероятность отказа. При отказе от условия, что моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий, равенство не может выполняться.

Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное программирование - это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Задача планирования работы предприятия.

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы - сырье , рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т.д. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Количество израсходованных производственных факторов и количество изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологическому способу.

Ставиться задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, т.е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

Формализуем задачу: Пусть имеется количество технологических способов производства изделий и производственных факторов.

Введем обозначения:

- количество изделий, выпускаемых в единицу времени при работе по j - му технологическому способу;

- расход i - го производственного фактора в единицу времени при работе по j - му технологическому способу;

- имеющиеся ресурсы i - го производственного фактора;

- планируемое время работы по j - му технологическому способу.

Величина

обозначает общий расход i - го производственного фактора при плане

.

Поскольку ресурсы ограничены величинами , то возникают естественные условия:

(1)

(2)

Ставится задача отыскания такого распределения времени (оптимального плана) работы по каждому технологическому способу при котором общий объем продукции был бы максимальным, т.е. определяется максимум линейной функции

В операционных исследованиях эту функцию принято называть целевой функцией или критерием эффективности, вектор - планом, вектор - оптимальным планом , а множество, определенное условиями (1) - (2) - допустимым или множеством планов.

Еще одним ярким примером применения линейного программирования в экономике является так называемая транспортная задача.

Транспортная задача.

Это задача о наиболее рациональном плане перевозок однородного продукта из пунктов производства в пункты потребления.

Пусть имеется пунктов производства некоего однородного продукта и пунктов его потребления . В пункте производится единиц, а в пункте потребляется единиц продукта.

Предполагается, что

.

Транспортные издержки, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта в пункт равны .

Суть задачи состоит в составлении оптимального плана перевозок, минимизирующего суммарные транспортные издержки, при реализации которого запросы всех пунктов потребления , , были бы удовлетворены за счет производство продукта в пунктах , .