4. Поле Q() содержит. Но тогда оно должно содержать также и, а значит и все числа вида a+b+c, где a,b,cQ. Отметим, что запись числа в такой форме однозначна поскольку мы уже убедились в линейной независимости чисел 1, , над Q. Чтобы доказать, что все элементы поля уже построены, надо как и в предыдущем примере уничтожить иррациональность в знаменателе дроби (a+b+c)/( d+e+f). Это можно проделать, используя тождество: -3xyz= (x+y+z)( -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно вэять x=d, y=e, z=f и домножить числитель и знаменатель на S. Следовательно, [Q() :Q]=3 и базис составляют элементы1, , .

Анализируя приведенные примеры, мы видим, что строение простого расширения существенно зависит от алгебраической природы порождающего элемента.

В связи с этим дадим следующее определение. Пусть kK и UK. Элемент U называется алгебраическим над k, если он является корнем полинома pk[x] положительной степени. В противном случае U называется трансцендентным элементом. Если p(U)=0 и p=qr, то либо q(U)=0, либо r(U)=0, поэтому найдется такой неприводимый многочлен sk[x], что s(U)=0. Если еще потребовать, чтобы s был унитарным, то он будет определен однозначно. Это будет многочлен наимеьшей степени, имеющий U своим корнем (минимальный многочлен алгебраического элемента U ). Степень минимального многочлена называется степенью числа U над полем k.

Примеры.

1. Любое комплексное число z является корнем квадратного уравнения над R: =0. Таким образом все комплексные числа алгебраичны над R и степень их не превосходит 2.

2. , - алгебраические элементы над Q. Они являются корнями неприводимых уравнений -3=0 и -2=0 соответственно, так что их степени - 2 и 3.

3. Можно доказать(весьма непросто!), что числа и е трансцендентны над полем Q.

Строение простых алгебраических расширений.

Теорема.

Если U алгебраический над k элемент степени n, то [k(U):k]=n и в качестве базиса можно выбрать элементы 1, U, .

Доказательство.

Ясно, что U и все его степени входят в k(U). Пусть pk[x] - минимальный многочлен элемента U. Тогда =. Умножая обе части этого равенства на, получаем, что при mn выражается над k в виде линейной комбинации меньших степеней U. В то же время элементы 1, U, ., линейно независимы над k, так как в противном случае U было бы корнем уравнения степени меньше n, что невозможно. Остается проверить что множество X={ } является полем, для чего достаточно установить, что элемент x=1/ Положим: q=. Так как степень этого многочлена меньше n, ОНД(p,q)=1. По основной теореме теории делимости для многочленов можно подобрать такие многочлены s и t над полем k, что sq+tp=1. Но тогда s(U)q(U)=1 и следовательно x= s(U) k.

Пример.

Пусть k=Q, U=. Тогда, откуда =24. Значит U алгебраическое число, являющееся корнем уравнения p= +1=0. Решая это биквадратное уравнение определим все его корни: x=. Если бы многочлен p был приводим, он имел бы над Q делитель вида (x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b некоторые из указанных выше корней. Однако непосредственная проверка показывает, что ни один из этих многочленов не имеет рациональных коэффициентов. Поэтому степень числа U равна 4 и базис в расширении составляют числа : 1, U=, , . Вместо них в базис можно включить 1, ,, . Отсюда вытекает, что Q()=Q() и таким образом присоединение двух элементов и равносильно присоединению единственного элементa. Можно доказать, что всякое конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим расширением и таким образом для его построения достаточно к исходному полю присоединить один единственный элемент.