Если k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю GF(p) - вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику.

Напомним, что векторным пространством над полем k называется такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими свойствами:

1. Относительно сложения векторы образуют абелеву группу.

2. a(U+V) = aU+aV

3. (a+b)U = aU+bU

4. a(bU) = (ab)U

5. 1U =U.

Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k: сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в то же время является элементом K). Свойства 1 - 5 вытекают из определения поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения и обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение называется конечным.

Примеры.

1. Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2.

2. Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать линейно независимую над Q систему вещественных чисел. Положим , , , ., . Пусть для некоторых рациональных выполнено равенство: =0. Тогда многочлен с рациональными коэффициентами q = имеет корень x= .Однако тот же корень имеет неприводимый многочлен , который, следовательно, делит многочлен q. Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и доказано наше утверждение.

Теорема о степени составного расширения.

Пусть поле F является расширением поля k, а K - расширение F. Тогда степень расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k].

Доказательство.

Пусть - базис K над F, а - базис F над k. Для всякого U K имеем: U = , где . Но, , где . Значит, всякий элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость. Если

=0, то поскольку линейно независимы над F, для всякого

i= 1, .,n имеем= 0. Но линейно независимы над k и потому все.

Расширение посредством присоединения элементов.

Пусть дано поле k и элементы, принадлежащие некоторому большему полю K. Наименьшее (по включению) подполе поля K, содержащее поле k и все элементы обозначается k() и называется расширением k посредством присоединения элементов. Если n=1, то расширение называется простым , а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого расширения.

Примеры.

1. Если все, то k()=k.

2. Если k=R, U=a+biC, причем b0, то простое расширение R(U) совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но тогда

i = 1/b(U-a) R(U), а значит и любое комплексное число p+qiR(U).

3. Поле Q() содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать в виде a+b, где a,bQ.

Проверим, что X - поле и тем самым установим, что Q() =X. Напомним, что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда

a) T содержит 0 и 1.

b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s.

c) Вместе с любыми двумя элементами t и s 0 T содержит их частное t/s.

Условия a) и b) для X очевидно выполнены. Чтобы проверить c) надо”уничтожить иррациональность” в знаменателе дроби (a+b)/(c+d). Из элементарной алгебры известно, что для этого достаточно числитель и знаменатель умножить на c-d. Итак, [Q():Q]=2 и базис составляют элементы 1 и.