Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочленыРефераты >> Математика >> Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены
Применяя формулы для суммы геометрической прогрессии, находим:
F = = 1/(1-tq). Логарифмируя, затем дифференцируя это равенство и умножая результат на t, получаем: = . Коэффициент при в правой части равен . Соответствующий коэффициент в левой части равен сумме слагаемых вида m, причем встречаются только те слагаемые, для которых N кратно m. Итак, имеем:
. Отсюда непосредственно находим: , , , и так далее.
Следствие. Над конечным полем существуют неприводимые многочлены любой степени.
В самом деле, поскольку по определению , из доказанной формулы следует, что . Снова из той же формулы получаем: = .
Замечание.
Из приведенных рассуждений вытекает, что при эквивалентно . Таким образом, примерно 1/N часть всех многочленов степени N над полем из q элементов неприводима.