Определение

Пусть и две группы и некоторое отображение. называется изоморфизмом, а группы и - изоморфными (однотипными), если

1. - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп и обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы и заданы таблицами умножения:

и

Отображение является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения), - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где . Определим отображение формулой: (x)=x*H. Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть - гомоморфизм. Тогда:

1.

2. .

3. Если -подгруппа, то -подгруппа в .

4. Если - (нормальная) подгруппа, то - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

1. Пусть - любой элемент. Тогда и по признаку нейтрального элемента .

2. Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

3. Применим признак подгруппы:

4. Пусть - подгруппа. - элементы из , то есть и входят в К. Тогда и потому. Значит, - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и - любой элемент. Тогда и значит. Аналогично, . Поскольку , то и , то есть подгруппа нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда нормален.

Из доказанной теоремы следует в частности, что для всякого гомоморфизма подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма и обозначается Im . Точно также, - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм cюръективен тогда и только тогда, когда Im .