Задачи и решения по численным методамРефераты >> Математика >> Задачи и решения по численным методам
2.2.3 Интервал .
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют одинаковые знаки, то работаем по первому варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
|
|
|
|
|
5,0000000 |
6,0000000 |
-12,0000000 |
4,0000000 |
0,6666667 |
5,7500000 |
6,0000000 |
-2,0156250 |
4,0000000 |
0,3359375 |
5,8337662 |
6,0000000 |
-0,1613014 |
4,0000000 |
0,0268836 |
5,8402098 |
6,0000000 |
-0,0120198 |
4,0000000 |
0,0020033 |
5,8406885 |
6,0000000 |
-0,0008909 |
4,0000000 |
0,0001485 |
5,8407240 |
6,0000000 |
-0,0000660 |
4,0000000 |
0,0000110 |
Итак, корнями уравнения будут , , .
2.3 Метод касательных (метод Ньютона).
В век повальной компьютеризации не есть хорошо считать при помощи логарифмической линейки. Поэтому, разработаем алгоритм и прикладную программу для решения кубических уравнений методом Ньютона.
Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная программа при решении исходного уравнения.
//метод Ньютона длЯ решениЯ кубических уравнений
#include<math.h>
#include<iostream.h>
double a[4]={0},
b[3]={0},
c[2]={0},
prec=0.00000;
double minim=0, maxim=0;
void Hello(void);
void Input();
void Derivative();
void Calculation();
double Calc_Fun(double);
double Calc_First(double);
double Calc_Second(double);
main(void)
{
Hello();
Input();
Derivative();
Calculation();
return 0;
}
void Hello(void)
{
cout<<"Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).\n\n";
}
void Input()
{
cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<<endl
<<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<<endl<<endl;
for (int i=0;i<4;i++)
{
cout<<"Введите значение коэффициента a["<<i+1<<"] : ";
cin>>a[i];
}
cout<<endl<<"Необходимо указать интервал поиска решениЯ."<<endl
<<"Введите нижнюю границу поиска : ";
cin>>minim;
cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";
cin>>maxim;
while(minim==maxim||minim>maxim)
{
cout<<"\nНижнЯЯ граница должна быть меньше верхней и не может быть ей равна."<<endl
<<"Повторите ввод нижней границы : ";
cin>>minim;
cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";
cin>>maxim;
}
cout<<"Введите допустимую погрешность : ";
cin>>prec;
}
void Derivative()
{
b[0]=a[0]*3;
b[1]=a[1]*2;
b[2]=a[2];
c[0]=b[0]*2;
c[1]=b[1];
cout<<"\n\n\n"
<<"Исходное уравнение имеет вид : \n\n"
<<a[0]<<"x^3+("<<a[1]<<")x^2+("<<a[2]<<")x+("<<a[3]<<")=0\n\n"
<<"ПерваЯ производнаЯ имеет вид : \n\n"
<<"f'(x)="<<b[0]<<"x^2+("<<b[1]<<")x+("<<b[2]<<")\n\n"
<<"ВтораЯ производнаЯ имеет вид : \n\n"
<<"f''(x)="<<c[0]<<"x+("<<c[1]<<")\n\n";
}
void Calculation()
{
double x=0, m=0;
cout<<"-------------------------------------------------"<<endl
<<"| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |"<<endl
<<"-------------------------------------------------"<<endl;
if (abs(Calc_Fun(minim))*abs(Calc_Second(minim))>0) x=minim;
else x=maxim;
if (Calc_First(minim)>Calc_First(maxim)) m=abs(Calc_First(maxim));
else m=abs(Calc_First(minim));
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<x;
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<Calc_Fun(x);
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<(fabs(Calc_Fun(x))/m);
cout<<"|\n";
while((fabs(Calc_Fun(x))/m)>prec)
{
x=(x-(Calc_Fun(x)/Calc_First(x)));
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);
cout<<x;
cout<<"|";
cout.width(15);cout.precision(10);