1. Методом Крылова развернуть характеристический определитель матрицы А=. Исходную систему линейных уравнений решить методом Жордана-Гаусса.

Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен.

Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его в нуль.

Пусть

– (1)

характеристический многочлен.

Заменяя в выражении (1) величину на , получим

. (2)

Возьмем произвольный ненулевой вектор

. (3)

Умножим обе части выражения (2) на :

(4)

Положим

, (5)

т.е.

(6)

Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде

, (7)

или в виде

Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то ее корни являются коэффициентами характеристического многочлена (1).

Если известны коэффициенты и корни характеристического многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие собственные векторы по следующей формуле:

(8)

Здесь – векторы, использованные при нахождении коэффициентов методом Крылова, а коэффициенты определяются по схеме Горнера

(9)

Используя все выше сказанное, развернем характеристический определитель матрицы А= методом Крылова.

Выберем в качестве начального следующий вектор:

,

Вычислим

Составим матричное уравнение

, или

Полученную систему уравнений решим методом Жордана-Гаусса.

Исходя из результатов таблицы, имеем .

Таким образом характеристическое уравнение матрицы имеет вид

2. Для определения собственных чисел матрицы необходимо решить полученное характеристическое уравнение третьей степени

Данное кубическое уравнение невозможно решить стандартными средствами. Воспользуемся для этой цели числовыми методами, а точнее методами приближенного вычисления.