Аппроксимация функций
Рефераты >> Математика >> Аппроксимация функций

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

, (2.3.1)

где , и ¾ среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное отношение вычисляется по формуле:

, (2.3.2)

где , а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего .

Всегда . Равенство соответствует некоррелированным случайным величинам; тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика ¾ коэффициент детерминированности.

Для его описания рассмотрим следующие величины. - полная сумма квадратов, где среднее значение .

Можно доказать следующее равенство

.

Первое слагаемое равно и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических.

Второе слагаемое равно и называется регрессионной суммой квадратов и оно характеризует разброс данных.

Очевидно, что справедливо следующее равенство .

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

. (2.3.3)

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности , который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае когда выполняется равенство то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

3. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel.

Вариант №22

Функция y=f(x) задана таблицей 1

Таблица 1

Исходные данные.

12.85

154.77

9.65

81.43

7.74

55.86

5.02

24.98

1.86

3.91

12.32

145.59

9.63

80.97

7.32

47.63

4.65

22.87

1.76

3.22

11.43

108.37

9.22

79.04

7.08

48.03

4.53

20.32

1.11

1.22

10.59

100.76

8.44

61.76

6.87

36.85

3.24

9.06

0.99

1.10

10.21

98.32

8.07

60.54

5.23

25.65

2.55

6.23

0.72

0.53


Страница: