Оглавление.

Введение

1. Постановка задачи

2. Расчетные формулы

2.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

2.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости

2.3 Элементы теории корреляции

3. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel

4. Построение графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН

5. Программа на языке Pascal

5.1. Блок-схема

5.2. Результаты расчета Pascal

Заключение

Список литературы

Введение.

Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.

1. Постановка задачи.

Во всех вариантах требуется:

1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично, аппроксимировать

а) многочленом первой степени ;

б) многочленом второй степени ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости y от x.

6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

8. Написать программу на одном из языков программирования и сравнить результаты счета с полученными выше.

2. Расчетные формулы.

2.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых (независимая величина) задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Поэтому эти значения будем называть эмпирическими или опытными значениями.