или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 ,

откуда

(c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 – a2) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

с>a, следовательно, с2—а2>0и величинаb—вещественна.

b2= с2—а2,

тогда

b2x2 — a2y2 = a2b2 ,

или

.

Уравнение

,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой ε, получим:

.

Так как для гиперболы с>a, то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме­тив, что c2 = a2+ b2, находим:

;

отсюда

и .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньшеε2—1, тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a=b и ε=√2.

Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

.

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гипер­болы.

Уравнения директрис в вы­бранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую —правой.

Так как для гиперболы ε >1, то .

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.

ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой (пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.

Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас­стояние от точки М до фокуса (r=FM), через d—расстояние от точки М до дирек­трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r=d.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв этово внимание, находим:

.

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенногоиз точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты отсюда, получаем:

число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .

Заменяя r и d, найдем

Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки

М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:

или

у2=2рх.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.