ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F1 и F2.

Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F1М + F2М = 2а.

Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1, F2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов (r1 = F1М, r2 = F2М). Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r1 + r2 = 2а.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выраже­ниями через координаты х, у.

Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:

Заменяя r1 и r2, получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полу­чим:

или

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2 ,

откуда

(а2—с2)х2 + а2у2 = а2(а2—с2).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна.

b2 = a2—c2,

тогда

b2x2 + a2y2 = a2b2 ,

или

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

.

Так как с<a, то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c2 = a2— b2; поэтому

;

отсюда

и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и ε=0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠b и, следова­тельно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b.

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х2 + у2 = R2.

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними—через 2с.

Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М (так же, как и дли­ны этих отрезков) называ­ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че­рез r1 и r2 (r1= F1М, r2= F2М). По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М есть по­стоянная величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F1 и F2. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F1М и F2М через r1 и r2. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r1— r2= ±2а.

Так как F1 F2=2с и так как фокусы F1 и F2 располо­жены на оси Ох симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима­ние находим:

, .

Заменяя r1 и r2, получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:

,