Прямой способ является самым распространенным и наиболее надежным. При его использовании берется непосредственно сам тезис и с помощью различных логических процедур показывается, что он вытекает из каких-то общепризнанных посылок. В качестве таких обосновывающих процедур могут выступать все изученные ранее виды умозаключений - от непосредственных в простейших случаях до силлогизмов и индукции. И вдобавок все они могут перемежаться, образуя подчас чрезвычайно тонкие, сложные и трудные для понимания рассуждения. Многие из них доступны только специалистам. Примеры прямых доказательств из школьных курсов математики, физики, химии может припомнить каждый. Скажем, доказательство равенства треугольников при равенстве одной из их сторон и прилегающих к ней углов относится к числу прямых.

Что касается косвенных доказательств, то к ним прибегают в тех случаях, когда тезис прямо доказать нельзя. Поэтому берут какие-то иные (хотя обязательно логически связанные с тезисом) положения и устанавливают их истинность или ложность. После того, как это удается, можно делать выводы о самом тезисе.

Так, в доказательстве от противного объектом внимания сначала делается противоречащее тезису утверждение. Как известно, противоречащие суждения подпадают под действие закона исключенного третьего: когда одно из них истинно, другое обязательно ложно и наоборот. Благодаря такой логической зависимости достаточно доказать истинность или ложность одного из них, тем самым автоматически определится истинностное значение другого. Следовательно, вместо доказательства те-зиса, когда это по каким-либо причинам затруднено, можно доказывать ложность антитезиса. Ход апагогического доказательства распадается на два неравновесных этапа. Сначала формулируют антитезис и, предположив, что он является истинным суждением, начинают проводить проверку такого предположения. Для этого надо извлечь из него следствия и сопоставить с фактами или с какими-то ранее установленными истинами, которые, таким образом, выполняют роль посылок. Как только сопоставление приведет хоть к одному противоречию, так сразу же можно делать вывод о том, что высказанное нами первоначально предположение об истинности антитезиса не выдерживает критики и от него надо отказаться как от ложного. Отсюда следующим этапом делается вывод об истинности тезиса как единственно согласующегося с природой вещей. С этого момента он доказан. В обиходной речи мы довольно часто строим рассуждения описанным образом, как бы отбрасывая противоречащую альтернативу вместо рассмотрения прямой: "Да какой же он актер, если декламировать не умеет?!" или: "Имел бы этот автомобиль удачную конструкцию, не выходил бы он из строя каждый месяц". Хотя в таких и подобных им конструкциях упоминается обычно или только тезис, или только антитезис, другой же компонент может явно не высказываться, все равно в принципе сам ход рассуждения идет по схеме доказательства от противного (и при необходимости легко восстанавливается), потому что здесь вместо обоснования требуемого тезиса опровергают противоречащий: он может быть актером или не быть им; допустим, он актер, тогда ему надо уметь декламировать, но этого у него нет, следовательно, нельзя считать его актером. В известном киносериале "Место встречи изменить нельзя" муж убитой женщины, арестованный по подозрению в ее убийстве, пытается обосновать свою невиновность путем опровержения противоречащего утверждения. Предположим, говорит он, я виновен. Следовательно, это я взял пистолет, ко-торый хранился в доме, вложил в него патрон (от пистолета другой марки), выстрелил. Но тогда возникает вопрос: почему был использован патрон от оружия другой системы, ведь он мог заклинить, дать осечку? Между тем подходящий патрон хранился в той же квартире, только в другом месте. Будь хозяин дома убийцей, не рисковал бы он столь неоправданно. Логичнее предположить, что преступник не знал, где хранятся патроны, стало быть являлся гостем убитой женщины, а не ее мужем.

В научном познании апагогическое доказательство тоже не редкость. Методом от противного строилось, например, доказательство известного постулата о параллельных. Сначала формулировали антитезис - через одну и ту же точку можно провести несколько прямых, параллельных данной, - и затем начинали делать вспомогательные построения, чтобы с их помощью показать, что предположение ведет к нелепостям. Правда, эта история, как уже говорилось в начальных разделах учебника, привела к не совсем обычному результату.

В 18 веке итальянский математик Д. Саккери, взявшись доказывать постулат методом от противного, развил довольно пространные следствия из постулата, противоречащего евклидовому. Ошибочно приняв некоторые из полученных им положений несовместимыми с исходными посылками (другими аксиомами), он объявил аксиому о параллельных доказанной. Однако немецкий математик И. Ламберт, проделав ту же работу, нашел, что на самом деле противоречий вовсе не возникло и надо извлекать следствия дальше. Исследования продолжались. Появлялись новые вспомогательные линии, углы и фигуры, появлялись новые удивительные построения и выводы, пока наконец Н. Лобачевский не объявил, что вся система аргументации, развернутая в поисках противоречий между неевклидовым постулатом и остальными аксиомами, в действительности не содержит противоречий и представляет собой новую содержательную геометрию. То есть линии, обладающие двумя свойствами: быть кратчайшими между двумя точками и единственными, совместимы как с евклидовым постулатом, так и с неевклидовыми постулатами о параллельных.

В отличие от апагогического разделительное доказательство предполагает выдвижение не двух, а нескольких альтернативных положений и последующее исключение ложных, пока не останется одна альтернатива. Преступление могли совершить A или B или C, думает иной раз следователь, но B и C, как установлено, не совершали преступления; значит его совершил A. В основу разделительного доказательства кладется, как видим, разделительно-категорическое умозаключение. На него поэтому распространяются все условия, какие необходимо соблюдать при их построении: полнота перечисленных альтернатив и исключающий характер дизъюнкции. Видимо, наибольшее распространение этот способ доказательства получил в судебно-следственной практике. Расследуя преступление, сначала выдвигают множество версий в отношении круга возможных его участников, их мотивов и поступков. Сыщик как бы строит несколько возможных моделей поведения преступников и затем по мере прояснения деталей постепенно отсеивает не подтверждающиеся. В науке этот метод тоже, конечно, используется. К нему приходится прибегать, например, тогда, когда для объяснения каких-либо явлений выдвигается две или более конкурирующие гипотезы и надо выбирать одну правильную. Так, долгое время велись споры по поводу гео- и гелиоцентрической системы, проверялись волновая и корпускулярная концепции света, решался вопрос об истинности флогистонной и кислородной теорий в химии. Для проведения отбора надо каждую из них на время принять за истинную и затем извлечь следствия из такого предположения; желательно, чтобы их было сделано возможно больше. Затем в полном соответствии с правилами разделительного доказательства отбрасываются те концепции, которые не согласуются с фактами. В связи с отбором приемлемых научных идей иногда говорят о так называемом решающем эксперименте. Его результаты должны не только опровергнуть несостоятельные гипотезы, но и одновременно подтвердить единственно истинную. Так, признанию известной, созданной Резерфордом планетарной модели атомного строения, предшествовала проверка на истинность и ее, и другой модели, той, которая была выдвинута Томсоном. Согласно последней атом - это положительно заряженная сфера с вкрапленными в нее отрицательными электронами. Для проверки этих гипотез был проведен эксперимент по рассеянию альфа частиц. Его результаты оказались совместимыми с моделью Резерфорда и одновременно показали несостоятельность конкурирующей модели.