2. Таблица первообразных элементарных ф-ий.

Для доказательства воспользуемся определением первообразной.

1) ((x^n+1))/(n+1)+C)’= (n+1)/(n+1)*x^n + C’=x^n;

2) (-cosx+C)’=sinx+C’=sinx;

3) (sinx+C)’=cosx+C’=cosx;

4) (e^n+C)’=e^x+C’=e^x;

5) ((a^x)/(ln a)+C)=1/(ln a) *ln a+C’=a^x;

6) (ln x+C)’=(1/x)+C’=1/x

Билет №19

1.Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция (синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является число T=2P. Для построения графика периодической функции достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…

2. Если ф-ия u и v дифференцируемы в некоторой точке, то их сумма дифференцируема в этой же точке и производная суммы равна сумме производных: (u+v)’=u’+v’. Доказательство. Найдём производную суммы по определению производной.

1) Пусть задана точка x0, êx-приращение аргумента.

2) 2) Вычислим приращение ф-ии:

ê(u+v)=u(x0+êx)+(x0+êx)–(u(x0)+v(x0))=u(x0+êx)-u(x0)+v(x0+êx )- v(x0)= êu+êv.

3)Найдём отношение приращения ф-ии к приращению аргумента:

ê(u+v)/êx=(êu+êv)/êx =êu /êx +êv/êx.

4) Выясним, к чему стремится разносное отношение при êx®0

êu/êx+êvêx ®u’+v’ при êx®0

Билет №20

1)Изобразим в прямоугольной системе координат графики следующих показательных ф-ий:y=(3/2), y=2, y=(5/2), y=3

Все графики проходят через точку M(0;1).

Проведём касательные к графикам в этой точке. Измерим углы наклона касательных к оси абсцисс. У касательных к графикам ф-ии y=(3/2), y=2, y(5/2) углы с положительным направлением оси Ох меньше 45°. У касательной к графику ф-ии y=3 этот угол больше 45°. Наличие у показательной ф-ии y=e (e=2.71828…) касательной, проведёной в точке M(0;1) и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол в 45, означает, что производная в точке х0 =0 равно 1.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Натуральный логарифм обозначается знаком ln, т.е. log x=ln x.

2. Если производная ф-ии положительна в каждой точке интервала, то ф-ия возрастает на этом интервале.

Доказательство: Ф-ия y= f(x) называется возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение ф-ии.

Известно, что значения дифференцируемой на интеграле ф-ии, значения производной связываются формулой Лагранжа: если ф-ия y=f(x) дифференцируема на некотором промежутке, точки x1 и x2 принадлежат промежутку (x1< x2), то на интеграле (х1;х2) найдется такая точка с, для которой выполняется равенство f’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).

Пусть производная ф-ии принимает положительные значения на интеграле I, т.е. f’(x)>0.Возьмем два знацения аргумента x1 и x2,принадлежащие этому интегралу, причём х1<х2. Сравним значения этой ф-ии в точках х1 и х2. По формуле Лагранжда найдётся такое значения с Î (х1:х2), для которой выполняется равенство

F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).

Из этого условия следует, что f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1).

Заметим, что f(c)>0 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность значению аргумента соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия

y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается достаточное условия ф-ии.