Билет№ 5

1) На интервале (-Пи/2;Пи/2) функция тангенс возрастает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале (-Пи/2;Пи/2) существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctga. Определение Арктангенсом числа а называется такое число из интервала (-Пи/2;Пи/2) тангенс которого равен а. Пример arctg1=Пи/4, так как tgПи/4=1 и Пи/4Î(-Пи/2;Пи/2); arctg(-SQR3)=-Пи/3, так как tg(-Пи/4)=-SQR3 и –Пи/3Î(-Пи/2;Пи/2).

2) Логарифмической функцией называется функция вида y = loga x, где а -заданное число, a>0, a не рано 1. Свойства логарифмической функции 1) Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа. Это следует из определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет смысл, если b>0 2) Множеством значений логарифмической функции являются все действительные числа. Пусть y0 – произвольное действительное число. Покажем, что найдётся такое положительное значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное действительное число). 3) Логарифмическая функция обращается в нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция y=loga x возрастает на всей области определения, если a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1) соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1), если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная функция возрастает, большее значение функции может быть только при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1. б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области определения, если 0<a<1. 5) Логарифмическая функция y=logax: а) при a>1 принимает положительные значения, если x>1; отрицательные значения, если 0<x<1 б) при 0<a<1 принимает положительные значения, если 0<x<1, и отрицательные значения, если x>1. Пусть a>1, тогда функция y=logax возрастает на всей области определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует, что: для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 0<x<1 logax < loga1, т.е. logax <0. Пусть 0<a<1; тогда функция y=logax убывает на всей области определения (рис.32); причём loga1=0. Из этого следует, что: для x>1 logax < loga1, т.е. logax < 0; для 0<x<1 logax > loga1, т.е. logax > 0. 6) Логарифмическая функция непрерывна на всей области определения.

Билет №6

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого промежутка; Dx – приращения аргумента x; x0 + DX также принадлежит этому промежутку; Dy – приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t. Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t).

2) 1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что функция y=cos x – периодическая с периодом 2Пиn, запишем все решения уравнения cosx=a на промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+ 2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень, а именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn], где n принадлежит Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n принадлежит Z. Таким образом, все ершения уравнения могут быть записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z.

Билет № 7

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого промежутка; Dx-приращение аргумента х; точка х0+ Dx принадлежит этому промежутку; Dy-приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36). Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R, где R-угловой коэффициент касательной.

2) 1) На промежутке (-Пи.2 ; Пи.2) функция y=tgx возрастает, значит, на этом промежутке, по теореме о корне, уравнение tgx=a имеет один корень, а именно, x=arctg a (рис 37). 2) Учитывая, что период тангенса равен Пиn, все решения определяются формулой x=arctg a + Пиn, nпринадлежит Z.

Билет №8

1) Пусть ф-ция f(x) задана на некотором промежутке, а –точка этого промежутка. Если для ф-ции выполняется приближенное равенство f(x) »f(a)

с любой , наперед заданной точностью, для всех х , близки х к а , то говорят , что ф-ция непрерывна в точке а. Иными словами ф-ция f непрерывна в точке а , если f(x) ®f(a) при х ®а.

Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на промежутке.

Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию. Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x ®3^2, при х®2. Ф-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел , а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное число n-ая степень к-рого равна а.

Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполняются следующие св-ва:

1. N sqr ab= n sqr a * n sqr b

2. n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr b) b ¹0

3. n sqr (k sqr a)= kn sqr (a), k> 0

4. n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0

5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k£0,то а¹0)

6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется неравенство:

n sqr a< n sqr b, если 0£a<b

Док-во св-ва №5: По опр-нию корня n-ой степени (n sqr a^k)^n=a^k; (n sqr a)^k³0, так как n sqr a³0. Найдем n-ю степень выражения (n sqr a)^k. По св-ву возведения степени в степень ((n sqr a)^k)^n=(n sqr a)^nk=(( n sqr a)^n)^k;по определению корня n-ой степени ((n sqr a)^n)^k=a^k.