2. Современные направления применения математических

методов

Математические методы позволяют создавать особые описания географических явлений и процессов - их математические модели. Суть математического моделирования заключается в абстрагированном и упрощенном отображении действительности логико-математическими формулами, передающими в концентрированном виде сведения о структуре, взаимосвязях и динамике исследуемых географических явлений. Эти модели очищены от ненужных деталей и лишних подробностей ради ясности характеристик важнейших свойств и закономерностей. Абстрактность математической модели проявляется даже в характеристике конкретных свойств: в любой формуле указываются лишь величины тех или иных показателей, но не раскрывается их содержание.

Важная особенность математических методов, отмеченная Л. В. Канторовичем и А. Б. Горстко, состоит в их опосредствованном использовании для изучения действительности. Они применяются лишь в виде моделей, т. е. в определенных формализованных абстракциях. Математические модели способны хорошо отражать структуру, взаимосвязи и динамику наблюдаемых явлений, но надо неустанно следить за их соответствием свойствам моделируемой действительности.

Другое условие повышения достоверности результатов моделирования состоит в совершенствовании научных знаний о географических закономерностях. Опора на более достоверные, точные и полные знания, а также их всесторонний учет гарантирует более высокое качество моделирования. Математические модели могут, в свою очередь, оказывать серьезное воздействие на теоретические представления. В "основание" моделей можно закладывать еще не доказанные наукой представления; тогда результаты моделирования позволят судить о научной достоверности теоретических предпосылок и гипотез, об обоснованности интуитивных представлений. Это свойство моделей может использоваться в целях предсказания новых географических закономерностей и прогнозирования развития явлений и процессов. Наконец, для улучшения результатов моделирования очень важна постоянная корректировка моделей посредством учета и контроля промежуточных данных.

С точки зрения географии (учитывая большую значимость для нее пространственных аспектов), можно выделить три разновидности моделей:

1) математические модели, строящиеся без учета пространственного координирования явлений, и результаты реализации которых не подлежат картографированию;

2) модели, в которых результаты картографируются, но пространственный аспект не учитывается на этапе реализации математических алгоритмов;

3) модели, в которых без учета пространственного положения явлений невозможно реализовать математические расчеты.

Из различных разделов современной математики в географии наиболее широко используется математическая статистика. На ее долю приходится не менее 80% всех проведенных экспериментов. Стало обычным делом проведение простого статистического анализа географических данных - вычисление средних квадратических отклонений, дисперсии, коэффициентов вариации, оценка согласия распределений с помощью критериев Пирсона (х2), А. Н. Колмогорова, расчеты прямолинейной и нелинейной корреляции, корреляционных отношений, различных видов регрессий и др. Несколько позднее географы обратились к дисперсионному и дискриминантному анализу, а также анализу временных рядов.

Но особенно широкое распространение нашли известные алгоритмы математической статистики - факторный анализ и метод главных компонент. Не менее популярны статистические алгоритмы классификации географических объектов на основе комплексов характеризующих их показателей. Количество алгоритмов классификаций и их разновидностей очень велико, но все они построены на способах членения исходного множества изучаемых объектов на непересекающиеся подмножества: метод потенциальных функций, метод гиперплоскостей, метод гиперсфер и др.

Среди всего многообразия алгоритмов встречаются как автоматические классификации, так и классификации, которые используют отдельные территориальные единицы как ядра, вокруг которых формируются однородные подмножества (группы). Эти ядра задаются экспертами-географами, т. е, происходит как бы предварительное "обучение ЭВМ", вследствие чего такие алгоритмы называют классификациями "с учителем".

В географии все модели классификации делятся на подвиды. Так, для типологии географических объектов по комплексу показателей пригодны модели, учитывающие гомогенность объединяемых в одну группу территориальных единиц. Для оценочной классификации наряду с условием гомогенности необходима иерархическая упорядоченность между собой формируемых групп.

В некоторых случаях типологические или оценочные характеристики служат основой для районирования. Районирование отличается от географической дифференциации тем, что оно означает "разбиение" целого на целостные же части, объединяемые взаимными связями. В отличие от ареала район внутренне неоднороден, так как для него всегда характерна та или иная внутренняя территориальная организация, тогда как для ареала типично лишь состояние внутренней однородности.

Районирование до последнего времени выполняется вручную на уровне логических обобщений, формализовать весь комплекс которых пока не представляется возможным, но отдельные требования легковыполнимы. Так, достаточно давно созданы алгоритмы, выполняющие условия выделения территориально нерасчлененных группировок территориальных единиц с использованием матриц соседства.

В географической литературе неоднократно указывалось на целесообразность применения классификаций географических комплексов с использованием методов теории нечетких множеств. Эта теория предполагает возможность относить территориальные единицы не просто к одному из классов (как стандартные алгоритмы многомерных классификаций), а одновременно к нескольким классам с различными функциями принадлежности (в случае переходного характера единиц). Такая классификация целесообразна, когда в действительности границы между классами имеют нечеткий, переходный характер, что должно учитываться при математическом моделировании и соответствующим образом отражаться на картах. Размытость границ иногда рассматривается как их общее свойство.

В географии широко распространилось имитационное моделирование. Хорошим и простым примером может служить имитация развития системы населенных мест. В основу эксперимента закладывались правила развития системы, и на ЭВМ "проигрывались" пути их реализации с помощью алгоритма статистических испытаний (метода Монте-Карло). Результат, полученный И. С. Матлиным, не только имитирует сеть поселений, но и подчеркивает их иерархию, связанную с основным положением теории центральных мест (рис. 7)

Рис. 7. Имитация развития системы населенных мест (по Матлину)