.

Причем, как не раз мы уже отмечали коэффициенты b0 и b1 в этом уравнении неизвестны. Используя МНК, мы можем найти оценки этих коэффициентов в0 и в1 и записать следующее выражение для у:

.

На приведенном рисунке (Рис.4) изображены фактические значения переменной у, график гипотетической функции регрессии (которая, вообще говоря, нам неизвестна!) и график эмпирической функции регрессии, коэффициенты которой найдены из условия минимума суммы квадратов ошибок.

Рис.4. Графики гипотетической и эмпирической функций регрессии.

Исходя из логики наших действий, возникают два вопроса:

●Можно ли с той или иной вероятностью найти подтверждение, что вид функциональной зависимости (речь пока идет только о линейной функции) выбран корректно.

●Насколько хорошо, со статистической точки зрения, оценки неизвестных параметров, полученные по МНК, приближают неизвестные коэффициенты.

Для ответов на поставленные вопросы нам понадобится, в частности, понятие коэффициента детерминации. Перед тем как ввести это понятие рассмотрим следующую сумму:

.

Покажем, что ее можно представить в виде:

=+.

Действительно,

=

=. (1)

Через обозначена функция регрессии, полученная по МНК: .

Покажем, что последнее слагаемое в (1) равно нулю, для этого запишем его в виде:

- .

Рассмотрим слагаемое

=.

В силу равенства (2), можно утверждать, что оно равно 0. Преобразуем теперь первое слагаемое:

==

=+.

Оба слагаемых равны нулю в силу равенств (2) и (3).

Таким образом, мы показали, что имеет место, следующее представление для рассматриваемой суммы:

=. (2)

Величину еi равную:

будем называть остатком. Следовательно, первое слагаемое в правой части (2) есть сумма квадратов остатков:

.

Ее называют остаточной суммой квадратов и обозначают RSS (residualsumofsquares).

Вторая сумма это сумма квадратов отклонений точек, расположенных на регрессионной прямой от прямой у =. Эту сумму называют суммой квадратов отклонений, объясненной регрессией ЕSS (explainedsumof squares).

В левой части равенства (2) находится сумма квадратов отклонений фактических значений переменной у от прямой у =. Такую сумму называют полной суммой квадратов и обозначают TSS (totalsumofsquares).

Таким образом, полная сумма квадратов TSS разбилась на две составляющие:

TSS= RSS+ ESS. (3)

● ESS- сумму квадратов, обусловленных влиянием основного фактора х;

● RSS – сумму квадратов, обусловленных влиянием других, в том числе и случайных факторов.

Замечание 1. Следует иметь в виду, что в литературе по эконометрике, в частности в [9], эту же систему обозначений используют с точностью до наоборот, давая ей другое объяснение. Сумму, которая выше обозначена как ЕSSобозначают черезRSSи расшифровывают так: regressionsumofsquares. И наоборот, сумму, обозначенную нами как RSSназывают ЕSS: errorsumofsquares. Мы будем придерживаться введенной выше терминологии. ▲

Замечание 2.Рассмотрим два частных случая. Предположим, что x не оказывает никакого влияния на y, тогда выборочное условное среднее совпадает с выборочным средним , в такой ситуации ЕSS =0 и

TSS= RSS.

В том случае, когда на зависимую переменную у не оказывает влияния никакие другие факторы, кроме х, сумма RSS будет равняться нулю и будет выполняться следующее равенство:

TSS= ESS.

В общем же случае, если оценки параметров функции регрессии найдены по МНК, всегда будет иметь место равенство (3).▲

Определение 1. Парным коэффициентом детерминации (выборочным) называют отношение:

. (4)

Говорят, что «коэффициент детерминации показывает, какая доля дисперсии величины y определяется (детерминируется) изменчивостью (дисперсией) соответствующей функции регрессии y от x» [1].

Поясним сказанное. Для этого вернемся к равенству (2) и разделим обе части равенства на n, получим:

=.

Или:

.