В 1965 году Смейл показал, что при большой размерности фазового пространства существуют системы, в некоторой окрестности которых нет ни одной структурно устойчивой системы, то есть такой, что при малом изменении векторного поля она остается в определенном смысле эквивалентной первоначальной. Этот результат имеет фундаментальное значение для качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так как показывает неразрешимость задачи топологической классификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений, и может быть сравним по своему значению с теоремой Лиувилля о неразрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах.

К важным достижениям можно отнести построение А.Н. Колмогоровым теории возмущений гамильтоновых систем, обоснование метода усреднения для многочастичных систем, развитие теории бифуркаций, теории возмущений, теории релаксационных колебаний, дальнейшее глубокое изучение показателей Ляпунова, создание теории оптимального управления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями.

Таким образом, теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.

Бурбаки, говоря об архитектуре математики, так характеризует ее современное состояние:

"Дать в настоящее время общее представление о математической науке - значит заниматься таким делом, которое, как кажется, с самого начала наталкивается на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала. Статьи по чистой математике, публикуемые во всем мире в среднем в течение одного года, составляют многие тысячи страниц. Не все они, конечно, имеют одинаковую ценность; тем не менее, после очистки от неизбежных отбросов оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-либо закоулке математической науки, откуда они не стремятся выйти и не только почти полностью игнорируют все то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них". (Н. Бурбаки, "Очерки по истории математики", М.: ИЛ, 1963 г.)

Однако нельзя, как мне кажется, отрицать значение для математических исследований даже тех, кто находится "в закоулке" математической науки. Основное русло математики, как и большой реки, питают прежде всего небольшие ручейки. Крупные открытия, прорыв фронта исследований очень часто обеспечиваются и подготавливаются кропотливым трудом очень многих исследователей. Все сказанное относится не только ко всей математике, но и к одному из самых обширных ее разделов - теории дифференциальных уравнений, которая в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики.

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.

Со второй четверти XVIII в. начинается новый период в развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений, продолжавшийся около ста лет. Именно в это время совокупность приемов решения отдельных типов уравнений переросла в самостоятельную дисциплину со своим спе­цифическим предметом исследования, системой основных понятий и опре­делившимися методами решения проблем.

Основные направления, в которых происходил этот процесс, были в решающей степени обусловлены запросами стремительного прогресса ес­тествознания и техники. Дальнейшее развитие общей и небесной механики, физики жидкостей и газов, физики упругой среды, не говоря уже о техни­ческой механике и гидравлике, - все это определило новые задачи мате­матического анализа.

В небесной механике возникли задачи исключительной сложности. Над­лежало прежде всего исследовать явления, которые еще не были удовлетворительно объяснены на основе закона всемирного тяготения. Здесь тре­бовалось теоретически вывести все особенности наблюдаемых движений небесных тел, прежде всего принадлежащих Солнечной системе, в рамках ньютоновой механики. Изучение взаимодействия между телами Солнечной системы было необходимо, в частности, для решения вопроса о постоян­стве существующего взаиморасположения планетных орбит. Напомним, что Ньютон не считал возможным сохранение существующего состояния Сол­нечной системы без вмешательства время от времени «сил божественного провидения», полагая, что взаимное притяжение тел этой системы должно привести ее в беспорядок. Исследование вопроса об устойчивости планет­ных орбит приводило к трудной задаче определения этих орбит для боль­ших интервалов времени. Для ее решения требовалось создать совершенно новые математические методы. В первую очередь они были необходимы для дальнейшего развития динамики материальной точки, теории движе­ния твердого тела, динамики несвободной системы.

Чтобы отчетливее представить себе возникавшие трудности, достаточно напомнить, что к началу XVIII в. даже в динамике точки не существовало аналитических методов. Прежними синтетическо-геометрическими по­строениями Ньютона, требующими видоизменения для каждой новой сколько-нибудь сложной задачи, довольствоваться было уже невозможно, и Эйлер, Даламбер и Лагранж заложили прочные основы аналитической механики. Решающую роль приобрела при этом теория обыкновенных диф-ференциальных уравнений, к которым приводили задачи динамики точки и динамики систем материальных точек.

Первые же задачи динамики точки при их аналитической трактовке потребовали методов интегрирования нелинейных уравнений второго порядка и их систем. Напомним, что определение по закону всемирного тя­готения движения центра тяжести планеты, притягиваемой центром тяже­сти Солнца, эквивалентно решению задачи с начальными условиями для системы где К — постоянная, определяемая через массу Солнца и абсолютную по­стоянную, входящую в выражение закона тяготения. Динамические урав­нения Эйлера, определяющие движение абсолютно твердого тела, имею­щего одну неподвижную точку, представляют нелинейную систему трех уравнений второго порядка (относительно эйлеровских углов как функций времени). К нелинейным уравнениям приводили задачи о дви­жении точки в сопротивляющейся среде, рассмотренные впервые Ньюто­ном, как и многие экстремальные задачи механики, физики, геометрии, явившиеся предметом развивающегося вариационного исчисления, в част­ности, важное для практических приложений нахождение геодезических линий на поверхности. Решение задач статики и динамики механических систем со сложными связями также требовало интегрирования нелинейных уравнений, удовлетворяющим условиям задачи Коши.