(1+r)i (1+r)2i (1+r)3i (1+r)N-i

где NPV (i) - чистый приведенный доход исходного проекта;

i- продолжительность этого проекта;

r - коэффициент дисконтирования в долях единицы;

N - наименьшее общее кратное;

n - число повторений исходного проекта (оно характеризует число слагаемых в скобках).

Пример K

В каждой из двух приведенных ниже ситуаций требуется выбрать наиболее предпочтительный проект (в млн руб.), если цена капитала составляет 10%:

а) проект А: -100, 50, 70; проект В: -100, 30, 40, 60;

б) проект С: -100, 50, 72; проект В: -100, 30, 40, 60.

Если рассчитать NPV для проектов А, В и С, то они составят соответственно: 3,30 млн руб., 5,4 млн руб., 4,96 млн руб. Непосредственному сравнению эти данные не поддаются, поэтому необходимо рассчитать NPV приведенных потоков. В обоих вариантах наименьшее общее кратное равно 6. В течение этого периода проекты А и С могут быть повторены трижды, а проект В - дважды.

В случае трехкратного повторения проекта А суммарный NPV равен 8,28 млн руб.:

NPV = 3,30 + 3,30 / (1+0,1)2+3,30 / (1+0,1)4 = 3,30 + 2,73 +2,25 = 8,28,

где 3,30 - приведенный доход 1-ой реализации проекта А;

2,73 - приведенный доход 2-ой реализации проекта А;

2,25 - приведенный доход 3-ей реализации проекта А.

Поскольку суммарный NPV в случае двукратной реализации проекта В больше (9,46 млн руб.), проект В является предпочтительным.

Если сделать аналогичные расчеты для варианта (б), получим, что суммарный NPV в случае трехкратного повторения проекта С составит 12,45 млн руб. (4,96 + 4,10 + 3,39). Таким образом, в этом варианте предпочтительным является проект С.

Метод бесконечного цепного повтора сравниваемых проектов

Рассмотренную выше методику можно упростить в вычислительном плане. Так, если анализируется несколько проектов, существенно различающихся по продолжительности реализации, расчеты могут быть достаточно сложными. Их можно упростить, если предположить, что каждый из анализируемых проектов может быть реализован неограниченное число раз. В этом случае n®¥ число слагаемых в формуле расчета NPV(i, n) будет стремиться к бесконечности, а значение NPV(i, ¥) может быть найдено по формуле для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

(1+r)i

NPV(i, ¥)= lim NPV(i, n) = NPV(i) ————.

n®¥ (1+r)i-1

Из двух сравниваемых проектов проект, имеющий большее значение NPV(i, ¥), является предпочтительным.

Так, для рассмотренного выше примера:

вариант а):

проект А: i = 2, поэтому

NPV(2, ¥) = 3,3 (1+0,1)2/((1+0,1)2-1) = 3,3×5,76 = 19,01 млн руб.;

проект В: i = 3, поэтому

NPV(3, ¥) = 5,4 (1+0,1)3/((1+0,1)3-1) = 5,4×4,02=21,71 млн руб.;

вариант б):

проект В: NPV(3, ¥) = 21,71 млн руб.,

проект С: NPV(2, ¥) = 28,57 млн руб.

Таким образом, получены те же самые результаты: в варианте а) предпочтительнее проект В; в варианте б) предпочтительнее проект С.

Ãëàâà 2. Проблемы оптимизации бюджета капиталовложений

Довольно часто при составлении бюджета капитальных вложений приходится учитывать ряд ограничений. Например, имеется нескопько привлекательных инвестиционных проектов, однако предприятие из-за ограниченности в финансовых ресурсах не может осуществить их все одновременно. В этом случае необходимо отобрать для реализации проекты так, чтобы получить максимальную выгоду от инвестирования. Как правило, основной целевой установкой в подобных случаях является максимизация суммарного NPV. Рассмотрим наиболее типовые ситуации, требующие оптимизации распределения инвестиций. Более сложные задачи оптимизации инвестиционных портфелей решаются с помощью методов линейного программирования.

§ 1. Пространственная оптимизация

Пространственная оптимизация бюджета капиталовложений проводится при наличии определенных условий:

¨ общая сумма финансовых ресурсов на конкретный период (например, год) ограничена сверху;

¨ имеется несколько независимых проектов с суммарным объемом требуемых инвестиций, превышающим имеющиеся у предприятия ресурсы;

¨ требуется составить инвестиционный портфель, максимизирующий суммарный возможный прирост капитала.

На первый взгляд, в портфель нужно включить все проекты с максимальным значением NPV. Такое решение является самым простым, но не обязательно оптимальным. Кроме того, если число конкурирующих проектов велико, то перебор вариантов на предмет соответствия ограничению по объему суммарных инвестиций может быть достаточно утомительным.

В зависимости от того, поддаются дроблению рассматриваемые проекты или нет, возможны различные способы решения данной задачи. Рассмотрим их последовательно.

Рассматриваемые проекты поддаются дроблению

Допустим, что рассматриваемые проекты поддаются дроблению, т. е. можно реализовать не только полностью каждый из анализируемых проектов, но и любую его часть (при этом берется к рассмотрению соответствующая доля инвестиций и денежных поступлений). Так как в этом случае объем инвестиций по любому проекту может быть сколь угодно малым, максимальный суммарный эффект достигается при наибольшей эффективности использования вложенных средств. Выше отмечалось, что критерием, характеризующим эффективность использования каждого инвестированного рубля, является показатель РI. При прочих равных условиях проекты, имеющие наибольшие значения РI, являются более предпочтительными с позиции отдачи на инвестированный капитал.

Порядок оптимизации следующий:

¨ для каждого проекта рассчитывается PI;

¨ проекты упорядочиваются по убыванию РI;

¨ в инвестиционный портфель включаются первые k проектов, которые в сумме в полном объеме могут быть профинансированы предприятием;

¨ очередной проект берется не в полном объеме, а лишь в той части, в которой он может быть профинансирован.

Рассмотрим пример.

Пример L

Предприятие имеет возможность инвестировать а) до 55 млн руб.; б) до 90 млн руб., при этом цена источников финансирования составляет 10%. Требуется составить оптимальный инвестиционный портфель, если имеются следующие альтернативные проекты:

проект А: -30, 6, 11, 13, 12;

проект В: -20, 4, 8, 12, 5;

проект С: -40, 12, 15, 15, 15;

проект D: -15, 4, 5, 6, 6.

Рассчитаем чистый приведенный доход (NPV) и индекс рентабельности (РI) для каждого проекта:

проект А: NPV = 2,51; PI = 1,084; IRR = 13,4%

проект В: NPV = 2,68; PI = 1,134; IRR = 15,6%

проект С: NPV = 4,82; PI = 1,121; IRR = 15,3%

проект D: NPV = 1,37; PI = 1,091; IRR = 13,9%.

Таким образом, по убыванию показателя PI проекты упорядочиваются следующим образом: B, C, D, A.

Наиболее оптимальная структура бюджета капиталовложений для варианта (а) представлена в таблице 8: