Множители при n и n равны соответственно sin υ и sin υ΄΄. Таким образом, получается соотношение:

выражающие закон преломления.

Рассмотрим отражение от внутренней поверхности эллипсоида вращения (рис. 4; F1 и F2 – фокусы эллипсоида). В соответствии с определением эллипса пути F1OF2, F1O΄F2, F1O΄΄F2 и т. д. одинаковы по длине.

Поэтому все лучи, вышедшие из фокуса F1 и пришедшие после отражения в фокус

F2, являются таутохронными. В этом случае оптическая длина пути стационарна. Если заменить поверхность эллипсоида поверхностью ММ, имеющей меньшую кривизну и ориентированной так, что луч, вышедший из точки F1, после отражения от ММ попадает в точку F2, то путь F1ОF2 будет минимальным. Для поверхности NN, имеющей кривизну большую, чем у эллипсоида, путь F1ОF2 будет максимальным.

Стационарность оптических путей имеет место также при прохождении лучей через линзу (рис. 5). Луч РОР΄ имеет самый короткий путь в воздухе (где показатель преломления n практически равен единице) и самый длинный путь в стекле (n ≈ 1,5). Луч PQQ΄P΄ имеет более длинный путь в воздухе, но зато более короткий путь в стекле. В итоге оптические длины путей для всех лучей оказываются одинаковыми. Поэтому лучи таутохронны, а оптическая длина пути стационарна.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в неоднородной изотропной среде вдоль лучей 1, 2, 3 и т. д. (рис. 6). Неоднородность будем считать достаточно малой для того, чтобы на отрезках лучей длины λ показатель преломления можно было считать постоянным. Построим волновые поверхности S1, S2, S3 и т. д. таким образом, чтобы колебания в точках каждой следующей поверхности отставали по фазе на 2π от колебаний в точках предыдущей поверхности. Колебания в точках, лежащих на одном и том же луче, описываются уравнением ξ = a cos (ωt – κr + a) (r – расстояние, отсчитываемое вдоль луча). Отставание по фазе определяется выражением κ∆r, где ∆r – расстояние между соседними поверхностями. Из условия κ∆r = 2π получаем, что ∆r = =2π/κ = λ. Оптическая длина каждого из путей геометрической длины λ равна nλ = λ (так как λ = λ /n). Согласно (рис. 4) время τ, за которое свет проходит некоторый путь, пропорционально оптической длине этого пути. Следовательно, равенство оптических

длин означает равенство времен прохождения светом соответствующих путей. Таким образом, мы проходим к выводу, что отрезки лучей, заключенные между двумя волновыми поверхностями, имеют одинаковую оптическую длину и являются таутохронными. В частности, таутохронны отрезки лучей между изображенными пунктиром на рис. 5 волновыми поверхностями ММ и NN.

Из проведенного нами рассмотрения вытекает, что отставание по фазе δ, возникающее на пути с оптической длиной L, определяется выражением:

(λ - длина волны в вакууме)

Закон прямолинейного распространения света.

Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия наблюдается отклонение от прямолинейности, тем большие, чем меньше отверстие.

Закон независимости световых лучей.

Закон независимости световых лучей утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешают каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив лишь при не слишком больших интенсивностях света. При интенсивностях, достигаемых с помощью лазеров, независимость световых лучей перестает соблюдаться.

Закон отражения света.

Согласно закону отражения света, отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Из условия равенства проекций волновых векторов на ось х, имеем:

Показанные на рис. 7 углы называются углом падения, углом отражения и углом преломления. Из рисунка видно, что

Векторы κ и κ΄ имеют одинаковый модуль,

равный ω/ ; модуль вектора κ΄΄ равен ω/

Следовательно,

Отсюда вытекает, что

Закон преломления света.

Закон преломления света формулируется следующим образом: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ. (закон доказывался выше)