Ответ. .

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы {2}. Оно равносильно совокупности двух систем

Ответ. .

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. Согласно схеме {3}, данное неравенство равносильно системе

Ответ.

Более сложно решение иррациональных неравенств вида

.

Поскольку , , то должны выполнятся условия , , (соответственно ). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству .

(соответственно неравенству ), которое сводится к разобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Последнее неравенство этой системы приводится к виду , откуда находим, что . Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, т.е. имеет вид .

Ответ. .

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться способ подстановки или введения новой переменной.

Весьма эффективны так называемые рационализирующие подстановки. Применение рационализирующих подстановок позволяет привести функцию, иррациональную относительно исходной переменной, к рациональной функции относительно новой переменной. [17]

Пример 9. Решить неравенство .

Решение. Введем новую переменную t с помощью рационализирующей подстановки , .

Тогда и для переменной t получаем рациональное неравенство

, где .

Ответ. .

Заключение

В данной курсовой работе сделана попытка разработать методику обучения решению иррациональных уравнений и неравенств в школе.

В ходе работы были решены следующие задачи:

Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

теория методов изложена не достаточно строго;

в одном учебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений нет. В остальных учебниках рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных преобразований;

очень мало материала по методам решения иррациональных неравенств;

среди предлагаемых заданий много однотипных;

Изучены стандарты образования по данной теме;

Изучена учебно-методическая литература по данной теме;

Рассмотрены ситуации, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения, показано, как их распознавать и как с ними можно бороться;

Подобраны примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемого теоретического материала;

Показано, что общие методы решения уравнений применимы для решения иррациональных уравнений и неравенств.

Список библиографии

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1993. - 254 с.

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 351 с.

3. Болтянский В.Г. Математика: лекции, задачи, решения. - Литва: Альфа, 1996. - 637 с.

4. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1998. - 288 с.

5. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1999. - 271с.

6. Григорьев А.М. Иррациональные уравнения. // Квант, №1, 1972, с.46-49.

7. Денищева Л.О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. - М.: Дрофа, 2004. - 120 с.

8. Егоров А. Иррациональные неравенства. // Математика. Первое сентября, №15, 2002. - с.13-14.

9. Егоров А. Иррациональные уравнения. // Математика. Первое сентября, №5, 2002. - с.9-13.

10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

12. Мордкович А.Г. Кто-то теряет, кто-то находит. // Квант, №5, 1970, с.48-51.

13. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.

14. Кузнецова Г.М. Программа для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика.5-11 кл. - М.: Дрофа, 2004, 320 с.

15. Потапов М. Как решать уравнения без ОДЗ. // Математика. Первое сентября, №21, 2003. - с.42-43.

16. Соболь Б.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. - Ростов на Дону: Феникс, 2003. - 352 с.