Методика преподавания курса Матричные игрыРефераты >> Педагогика >> Методика преподавания курса Матричные игры
Решение: Данная игра представлена матрицей А
Здесь игрок 1 и 2 имеет две чистые стратегии. Решаем игру с позиции первого игрока.
Пусть его стратегия х = (α, 1-α), 0 ≤α≤1.
Вычислим хА=(α, 1-α)(1 -1)= (α- (1-α), -α+1-α)=(2α-1, 1-2α). (-1 1)
Обозначим f2(α)=2α-1 и f2(α)=1-2α.
Найдем max min (f1 (α), f2 (α))= max( min(2α-1, 1-2α)).
Для нахождения максимина приведем графическую иллюстрацию (1)
Вначале для каждого α € [0,1] найдем min(2α-1, 1-2α). На рисунке (1) такие минимумы для каждого α € [0,1] образуют ломанную – нижнюю огибающую MPQ. Затем на огибающей находим наибольшее значение, которое будет в точке P. Эта точка достигает при α € [0,1], которое является решением уравнения f1 = f2 , т.е. 2α-1= 1-2α. Здесь α=1/2. Вторая координата точки P будет 2*1/2-1=0. итак P(1/2, 0). В смешанном расширении данной игры max( min(2α-1, 1-2α))=0.
Максиминная стратегия первого игрока хн = (α, 1-α)=(1/2, 1/2). По аналогичной схеме найдем минимаксную стратегию второго игрока. Его стратегию обозначим y=(β, 1-β), 0≤β≤1.
Вычислим Аy=( 2β-1, 1-2β).
Обозначим f1(β)= 2β-1, f2(β)= 1-2β
Найдем min max (f1(β), f2(β))= min (max (2β-1, 1-2β)).
Проведем геометрическую иллюстрацию на рисунке 2.
Для каждого β€[0,1] найдем min(2β-1, 1-2β).
На рисунке (2) такие минимумы для каждого β € [0,1] образуют ломанную – верхнюю огибающую RST. Затем на огибающей находим наименьшее значение, которое будет в точке S. Координаты точки S(1/2,0).
В смешанном расширении данной игры min (max (2β-1, 1-2β))=0.
YВ=( β, 1-β)=(1/2, 1/2) и выполняется условие, что
VH = max min аij = min max аij = Vв. Значит цена игры V* =0 и седловая точка равна (х*, у*) = ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)).
Ответ: (х*, у*)=((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)), V* =0.
3 этап. Учитель повторяет последовательность решения данной задачи графоаналитическим методом. Дает домашнее задание.
Домашнее задание: придумать каждому ученику 1 задачу, чтобы она решалась графоаналитическим методом.
Задача:
Графоаналитическим методом найти цену и седловую точку матричной игры, заданную матрицей выигрыша первого игрока.
> with(simplex):
> A := Matrix(4,4, [[4, 2,3,-1],[-4,0,-2,2],[-5,-1,-3,-2],[-5,-1,-3,-2]]);
>
C:={ A[1,1]*x+A[1,2]*y+A[1,3]*z+A[1,4]*t <=1,
A[2,1]*x+A[2,2]*y+A[2,3]*z+A[2,4]*t <=1,
A[3,1]*x+A[3,2]*y+A[3,3]*z+A[3,4]*t
<=1,A[4,1]*x+A[4,2]*y+A[4,3]*z+A[4,4]*t <=1};
Ø X:=maximize(f,C ,NONNEGATIVE );
> f_max:=subs(X,f);
>
> XX:=X*V;
>
Ø C1:={ A[1,1]*p1+A[2,1]*p2+A[3,1]*p3+A[4,1]*p4 >=1,
Ø A[1,2]*p1+A[2,2]*p2+A[3,2]*p3+A[4,2]*p4 >=1,
Ø A[1,3]*p1+A[2,3]*p2+A[3,3]*p3+A[4,3]*p4
Ø >=1,A[1,4]*p1+A[2,4]*p2+A[3,4]*p3+A[4,4]*p4 >=1};
Ø Y:=minimize(f1,C1 ,NONNEGATIVE);
>
>
Ø YY:=V*Y;
>
> VV:=XX*V*L;
Занятие №3 Решение систем неравенств графическим методом
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока: Лекция, урок решения задач.
Продолжительность: 2 часа.
Цели:1) Изучить графический метод.
2) Показать применение программы Maple при решении систем неравенств графическим методом.
3)Развить восприятие и мышление по данной теме.
План занятия: 1 этап: изучение нового материала.
2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple.
3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание.
Ход занятия.
1 этап: Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции.
В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду.
Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:
1. На первом этапе надо построить область допустимых решений. Для данного примера удобнее всего выбрать X2 за абсциссу, а X1 за ординату и записать неравенства в следующем виде:
Так как и графики и область допустимых решении находятся в первой четверти. Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).
Как видно из иллюстрации многогранник ABCDE образует область допустимых решений.
Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ∞, либо min(f)= -∞.