Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.

в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями (k-натуральное число, большее 1) и

Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Приведенные примеры показывают влияние уравнений и неравенств на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

2.2 Классификация преобразований неравенств и их систем

Можно выделить три типа таких преобразований:

1) Преобразование одной из частей неравенства.

2) Согласованное преобразование обеих частей неравенства.

3) Преобразование логической структуры.

Преобразования первого типа используются при необходимости упрощения выражения, входящего в запись решаемого неравенства. Преобразование одной из частей неравенства используют раньше всех других преобразований, это происходит еще в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто.

Преобразования второго типа состоят в согласованном изменении обеих частей неравенства в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии неравенств.

Приведем примеры преобразований этого типа.

1) Прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения.

2а) Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только положительные значения.

2б) Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только отрицательные значения и изменение знака неравенства на противоположный.

3а) Переход от неравенства a>b к неравенству f(a) >f(b), где f-возрастающая функция, или обратный переход.

3б) Переход от неравенства а<b к неравенству f(a) <f(b), где f - убывающая функция, или обратный переход.

Среди преобразований второго типа преобразования неравенств образуют сложную в изучении, обширную систему. Этим в значительной степени объясняется то, что навыки решения неравенств формируются медленнее навыков решения уравнений и не достигают у большинства учащихся такого же уровня.

К третьему типу преобразований относятся преобразования неравенств и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. Поясним использованный термин логическая структура". В каждом задании можно выделить элементарные предикаты - отдельные уравнения или неравенства. Под логической структурой задания мы понимаем способ связи этих элементарных предикатов посредством логических связок конъюнкция или дизъюнкции.

Изучение и использование преобразований неравенств и их систем, с одной стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры. Большое значение имеет выяснение вопросов, относящихся к характеризации производимых преобразований: являются ли они равносильными или логическим следованием, требуется ли рассмотрение нескольких случаев, нужна ли проверка? Сложности, которые приходится здесь преодолевать, связаны с тем, что далеко не всегда возможно привести характеризацию одного и того же преобразования однозначно: в некоторых случаях оно может оказаться, например, равносильным, в других равносильность будет нарушена.

В итоге изучения материала линии уравнений и неравенств учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

2.3 Общая последовательность изучения материала линии неравенств

Необходимо учитывать два противоположных направленных процесса, сопровождающие обучение. Первый процесс - постепенное возрастание количества классов неравенств и приемов их решения, различных преобразований применяемых в решении. За счет увеличения объема материал как бы дробится, изучение его новых фрагментов затрудняется наличием уже изученных, Второй процесс установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений.