Введение

Формулировки многих определений (теорем, аксиом) учащимся понятны, легко запоминаются после небольшого числа повторений, поэтому целесообразно в начале предложить их запомнить, а затем научить применять к решению задач.

Метод, при котором процессы запоминания определений и формирования навыков их применения протекают у учащихся неодновременно (раздельно), называют раздельным.

Раздельный метод используется при изучении определений хорды, трапеции, чётной и нечётной функции, теорем Пифагора, признаков параллельности прямых, теоремы Виета, свойств числовых неравенств, правил умножения обыкновенных дробей, сложения дробей с одинаковыми знаменателями и т.д.

1. Объём и содержание понятия. Классификация понятий

Объекты реальной действительности обладают: а) едиными свойствами, выражающими его отличительные свойства (например, уравнение третьей степени с одной переменной – кубическое уравнение); б) общими свойствами, которые могут быть отличительными, если выражают существенные свойства объекта (его признаки), выделяющие его из множества других объектов.

Термин “понятие” используется для обозначения мысленного образа некоторого класса объектов, процессов. Психологи выделяют три формы мышления:

1) понятиями (например, медиана – отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной треугольника);

2) суждениями (например, для углов произвольного треугольника справедливо: );

3) умозаключениями (например, если a>b и b>c, то a>c).

Характерными для формы мышления понятиями являются: а) это продукт высокоорганизованной материи; б) отражает материальный мир; в) предстаёт в познании как средство обобщения; г) означает специфически человеческую деятельность; д) его формирование в сознании неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.

Математическое понятие отражает в нашем мышлении определённые формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. Их формирование происходит по схеме:

Каждое понятие объединяет множество объектов или отношений, называемое объёмом понятия, а характеристические свойства, присущие всем элементам этого множества и только им, выражающие содержание понятия.

Например, математическое понятие – четырёхугольник. Его объём: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция и т.д. Содержание: 4 стороны, 4 угла, 4 вершины (характеристические свойства).

Содержание понятия жёстко определяет его объём и, наоборот, объём понятия вполне определяет его содержание. Переход от чувственной ступени к логической происходит посредством обобщения: либо через выделение общих признаков объекта (параллелограмм – четырёхугольник - многоугольник); либо через общие признаки в сочетании с особенными или единичными, которое приводит к конкретному понятию.

В процессе обобщения объём расширяется, а содержание сужается. В процессе специализации понятия объём сужается, я содержание расширяется.

Например:

многоугольники – параллелограммы;

треугольники – равносторонние треугольники.

Если объём одного понятия содержится в объёме другого понятия, то второе понятие называется родовым, по отношению к первому; а первое называется видовым по отношению ко второму. Например: параллелограмм – ромб (род) (вид).

Процесс выяснения объёма понятия называется классификацией, схема которой выглядит так:

пусть дано множество и некоторое свойство и пусть в есть элементы, как обладающие, так и не обладающие этим свойством. Пусть:

; и , 0.

Выделим в новое свойство и проведём разбиение по этому свойству:

, , где ,

Например: 1) классификация числовых множеств, отражающих развитие понятия числа; 2) классификация треугольников: а) по сторонам; б) по углам.

Задача №1. Множество треугольников изобразим с помощью точек квадрата.

- свойство равнобедренности;

- свойство прямоугольности;

Существуют ли треугольники, обладающие этими свойствами одновременно?

2. Математические определения. Типы ошибок в определении понятий

Заключительный этап формирования понятия – его определение, т.е. принятие условного соглашения. Под определением понимается перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведённых в связное предложение (речевое или символическое).

2.1 Способы определения понятий

Первоначально выделяют неопределяемые понятия, на основании которых определяются математические понятия следующими способами:

1) через ближайший род и видовое отличие: а) дескриптивное (выясняющее процесс, при помощи которого определение построено, или описывающее внутреннее строение в зависимости от тех операций, при помощи которых данное определение было построено из неопределяемых понятий); б) конструктивное (или генетическое), указывающее происхождение понятия.

Например: а) прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые; б) окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

2) индуктивно. Например, определение арифметической прогрессии:

3) через абстракцию. Например, натуральное число – характеристика классов эквивалентных конечных множеств;

4) аксиоматическое (косвенное определение). Например, определение площади фигуры в геометрии: для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: а) равные фигуры имеют равные площади; б) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей; в) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.