Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу:

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

х х0 х1 . хn

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

f (х) у0 у1 . уn

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок [ х0 ; хn ], но не совпадает ни с одним из значений х i ( i = 0, 1, ., n ).

Очевидный прием решения этой задачи - вычислить значение f (х), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием однако, можно применить лишь в случае, когда аналитическое выражение f пригодно для вычислений. Более того, как уже упоминалось выше, часто аналитическое выражение функции f вовсе не известно. В этих случаях как раз и применяется построение по исходной таблице приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что

f (x) = F (x). (1)

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f (x) и F (x) в точках хi ( i = 0, 1, 2, ., n), т.е.

F (x0) = y0, F (x1) = y1, ., F (xn) = yn. (2)

Будем искать интерполирующую функцию F (x) в виде многочлена степени n:

Pn (x) = a0xn + a1xn-1 + . +an-1x + an. (3)

Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Естественно предполагать, что n+1 условия (2), наложенные на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для Pn (x) выполнения условий (2), получаем систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными:

n

å ak xi n - k = yi (i = 0, 1, ., n). (4)

k=0

Решая эту систему относительно неизвестных а1, а2, ., аn, мы и получим аналитическое выражение полинома (3). Система (4) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель, известный как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный многочлен Pn(x) для функции f, заданной таблично, существует и единственен.

Чтобы написать программу, реализующую этот алгоритм, необходимо затратить от нескольких часов до нескольких дней. А потом, она поможет сэкономить многие и многие месяцы, ушедшие бы на выполнения однотипных арифметических операций для вычисления интерполяционных полиномов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Область применения электронно-вычислительных машин в наше время необычайно широка, и продолжает расширяться. Она не ограничивается только лишь исследованием функций или математических объектов произвольной природы вообще. Сфера применения компьютерной техники в науке гораздо шире и начинает охватывать те области знания, к которых раньше даже и не мыслилась. Процесс этот необратим, и скоро компьютер станет главным, но далеко не единственным инструментом ученого в его научной работе. Однако, не верно было бы думать, что с возрастанием роли компьютеров в научном познании роль человека будет неуклонно снижаться до уровня обслуживающего персонала. Человек всегда был и будет ведущим в связке человек-компьютер. Научный поиск - процесс творческий, а компьютеры этого не умеют, и научаться еще очень не скоро.

Список использованной литературы:

1. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной,

Москва, Наука, 1974 г.

2. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс

алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.

3. К. А. Рыбников, Возникновение и развитие математической

науки, Москва, Просвещение, 1987 г.

4. Н. И. Борисов, Как обучать математике, Москва, Просвещение,

1979 г.

5. Г. И. Глейзер, История математики в школе, IX-X классы,

Москва, Просвещение, 1983 г.

6. Л. С. Понтрягин, Математический анализ для школьников,

Москва, Наука, 1983 г.

7. Ю. С. Богданов, Н. В. Пыжкова, Л. П. Черенкова, Начала

анализа функций двух переменных в наглядном изложении,

Минск, Вышэйшая школа, 1987 г.

8. С.Г. Крейн, В. Н. Ушаков, Математический анализ элементарных

функций, Москва, Наука, 1966 г.

9. О. Г. Омельяновский, Диалектика в науках о неживой природе,

Москва, Мысль, 1964 г.