Норма прибыли является случайной величиной и предсказать ее значение заранее невозможно. Основными числовыми характеристиками случайной величины являются ее математической ожидание и дисперсия.

В случае, если известны (например, определены экспертами):

· Множество состояний экономической среды ();

· Вероятности каждого состояния ();

· Значение нормы прибыли і-го вида ценной бумаги в зависимости от состояний, которые может принимать экономическая среда (), то математическое ожидание, можно рассчитать по формуле:

,(2.2)

где mi – математическое ожидание нормы прибыли і-го вида ценных бумаг.

Дисперсия () представляет собой математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания:

.(2.3)

Дисперсия является показателем рассеивания фактических значений доходности акции вокруг ее средней доходности. Чем большим является разброс, тем труднее делать любые прогнозы относительно нормы прибыли ценной бумаги, то есть риск инвестирования в такие ценные бумаги больше, а как следствие дисперсия служит показателем, характеризующим степень этого риска.

Размерность дисперсии представляет собой квадрат доходности акции. Если в формуле доходность учитывается в процентах, то размерность дисперсии - это процент в квадрате. Показателем такой размерности не всегда удобно пользоваться, поскольку сама доходность акции измеряется в процентах. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень и получают стандартное отклонение доходности:

.(2.4)

Стандартное отклонение измеряется уже в процентах, т.е. в тех же единицах, что и сама доходность.

Очень часто не хватает необходимой информации для расчета математического ожидания и дисперсии нормы прибыли. Тогда при наличии статистических данных относительно курсов ценной бумаги и выплаченных ее владельцам доходов в прошлые периоды можно рассчитать нормы прибыли данного вида ценных бумаг за прошлые периоды и на их основе рассчитать оценки математического ожидания и дисперсии нормы прибыли.

,(2.5)

где Rit – норма прибыли ценной бумаги і-го вида, которая наблюдалась в период t;

T – количество статистических наблюдений.

Статистическую оценку дисперсии нормы прибыли рассчитывают по формуле:

.(2.6)

Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то она будет приводить к систематическим ошибкам, занижая значение генеральной дисперсии. Это происходит потому, что при расчете отклонения ее считают не от истинного среднего значения переменной, а от выборочного. Выборочное же среднее непосредственно находится в центре выборки и поэтому отклонения от него выборочных данных в среднем меньше, чем от действительного среднего значения переменной в генеральной совокупности. Чтобы скорректировать данную погрешность переходят к так называемой исправленной дисперсии. Она определяется по формуле:

(2.7)

Данная корректировка осуществляется для того, чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии. Корректировка является существенной, если оценку дисперсии проводят на основе небольшого количества данных. При большом объеме выборки различие в расчетах будет незначительным. На практике пользуются исправленной дисперсией, если количество наблюдений примерно меньше 30.

Дисперсию как меру риска ввел в теорию портфеля ценных бумаг основоположник современной теории портфеля Г.Марковец. Определенным недостатком данной меры риска является то, что она одинаково учитывает отклонения в доходности актива от его средней доходности как в сторону увеличения, так и снижения. В то же время инвестора, купившего финансовый актив, беспокоит именно снижение его доходности. Рост доходности по сути не является для него риском. Поэтому позже Г.Марковец предложил в качестве меры риска показатель полудисперсии. Выборочная полудисперсия определяется по формуле:

(2.8)

Формула (2.8) отличается от формулы (2.6) только тем что при расчете показателя полудисперсии учитываются только значения доходности актива, которые меньше его ожидаемой доходности. Таким образом, инвесторы получают представление о риске потерь в более прямой форме, чем при расчете дисперсии.

Функции Microsoft Excel ДИСП и СТАНДОТКЛОН позволяют рассчитать дисперсию и среднеквадратичное отклонение нормы прибыли на основе статистической выборки.

В таблице 2.3 отображены результаты расчетов оценок математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения норм прибылей акций отечественных предприятий.

Таблица 2.3 – Доходность и риск ценных бумаг отечественных предприятий