Решение.

Исходя из определения массовой доли, составим выражение для w1 и w2:

w1 = m1 / m2,

(где m1 - масса вещества в исходном растворе).

m1 = w1 • m

w2 = (m1+x) / (m + x) = (w1 • m + x) / (m+x)

Решая полученное уравнение относительно х получаем:

w2 • m + w2 • x = w1 • m + x

w2 • m - w1 • m = x - w1 • x

(w2 - w1) • m = (1 - w2) • x

x = ((w2 - w1) • m) / (1 - w2)

Пример.

Сколько граммов хлористого калия надо растворить в 90 г 8%-ного раствора этой соли, чтобы полученный раствор стал 10%-ным?

m = 90 г

w1 = 8% (или 0,08), w2 = 10% (или 0,1)

x = ((0,1 - 0,08) • 90) / (1 - 0,1) = (0,02 • 90) / 0,9 = 2 г

Смешивание растворов с разными концентрациями.

Смешали m1 граммов раствора №1 c массовой долей вещества w1 и m2 граммов раствора №2 c массовой долей вещества w2. Образовался раствор (№3) с массовой долей растворенного вещества w3. Как относятся друг к другу массы исходных растворов?

Решение.

Пусть w1 > w2, тогда w1 > w3 > w2. Масса растворенного вещества в растворе №1 составляет w1 • m1, в растворе №2 - w2 • m2. Масса образовавшегося раствора (№3) - (m1 - m2). Сумма масс растворенного вещества в растворах №1 и №2 равна массе этого вещества в образовавшемся растворе (№3):

w1 • m1 + w2 • m2 = w3 • (m1 + m2)

w1 • m1 + w2 • m2 = w3 • m1 + w3 • m2

w1 • m1 - w3 • m1 = w3 • m2 - w2 • m2

(w1- w3) • m1 = (w3- w2) • m2

m1 / m2 = (w3 - w2 ) / (w1- w3)

Таким образом, массы смешиваемых растворов m1 и m2 обратно пропорциональны разностям массовых долей w1 и w2 смешиваемых растворов и массовой доли смеси w3. (Правило смешивания).

Для облегчения использования правила смешивания применяют правило креста :

m1 / m2 = (w3 - w2) / (w1 - w3)

Для этого по диагонали из большего значения концентрации вычитают меньшую, получают (w1 - w3), w1 > w3 и (w3 - w2), w3 > w2. Затем составляют отношение масс исходных растворов m1 / m2 и вычисляют.

Пример.

Определите массы исходных растворов с массовыми долями гидроксида натрия 5% и 40%, если при их смешивании образовался раствор массой 210 г с массовой долей гидроксида натрия 10%.

5 / 30 = m1 / (210 - m1)

1/6 = m1 / (210 - m1)

210 - m1 = 6m1

7m1 = 210

m1 =30 г; m2 = 210 - m1 = 210 - 30 = 180 г

Разбавление раствора.

Исходя из определения массовой доли, получим выражения для значений массовых долей растворенного вещества в исходном растворе №1 (w1) и полученном растворе №2 (w2):

w1 = m1 / (r1 • V1) откуда V1= m1 /( w1 • r1)

w2 = m2 / (r2 • V2)

m2 = w2 • r2 • V2

Раствор №2 получают, разбавляя раствор №1, поэтому m1 = m2. В формулу для V1 следует подставить выражение для m2. Тогда

V1= (w2 • r2 • V2) / (w1 • r1)

m2 = w2 • r2 • V2

или

w1 • r1 • V1 = w2 • r2 • V2 m1(раствор) m2(раствор)

m1(раствор) / m2(раствор) = w2 / w1

При одном и том же количестве растворенного вещества массы растворов и их массовые доли обратно пропорциональны друг другу.

Пример.

Определите массу 3%-ного раствора пероксида водорода, который можно получить разбавлением водой 50 г его 3%-ного раствора.

m1(раствор) / m2(раствор) = w2 / w1

50 / x = 3 / 30

3x = 50 • 30 = 1500

x = 500 г

Последнюю задачу можно также решить, используя "правило креста":

3 / 27 = 50 / x

x = 450 г воды

450 г + 50 г = 500 г