Содержание

Содержание. 2

Задание. 3

Постановка задачи. 4

1. Графическое представление. 4

2. Математическая формулировка задачи. 5

Метод расчета. 7

Схема апроксимации. 8

Алгоритм расчета. 11

Идентификаторы 13

Блок-схема. 14

Программа. 17

Сравнение с инженерными методами расчета. 20

Результаты расчета. 21

Задание

Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo=30 мм

Сплав: Латунь (10% Zn).

Форма: Песчано-глинистая объемная сырая (ПГФ).

Индексы: 1-Метв, 2- Меж, 4-форма.

а1=3,6×10-5 м2/с

а2=2,1×10-5 м2/с

l1=195 Вт/м×К

l2=101 Вт/м×К

r1=8600 кг/м3

r2=8000 кг/м3

L=221000 Дж/кг

b4=1300 Вт×с1/2/(м2×К)

Tф=293 К

Ts=1312,5 К

Tн=1345 К

N=100

et=0,01 c

eТ=0,01 oC

Постановка задачи

1.

Графическое представление

Принимаем следующие условия:

Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo затвердевает в объемной массивной песчано-глинистой форме. Принимаем, что теплофизические характеристики формы и металла постоянны и одинаковы по всему объему, системы сосредоточенные, геометрическая ось совпадает тепловой и поэтому можно рассматривать только половину отливки. Lo<<Lф - форма массивная, т.е. форма за все время охлаждения не прогревается до конца, Тпов=Тнач; такая форма называется бесконечной

Вектор плотности теплового потока (удельный тепловой поток) имеет направление перпендикулярное к поверхности раздела отливка-форма в любой момент времени tk;

Нестационарное температурное поле – одномерное, Тj(х, tk), j=1,2,4;

Температура затвердевания принимается постоянной, равной Ts;

Теплофизические характеристики сред, aj=lj/cjrj, j=1,2,4;

Теплоаккумулирующую способность формы примем постоянной, bф==const;

C,l,r - теплофизические характеристики формы;

Переохлаждение не учитываем;

Удельная теплота кристаллизации L(Дж/кг) выделяется только на фронте затвердевания (nf) - условие Стефана;

Не учитывается диффузия химических элементов – квазиравновесное условие;

Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции учитывается введением коэффициента эффективной электропроводности:

для жидкой среды l2=n*l0, где l0 – теплопроводность неподвижного жидкого металла; n=10;

Не учитывается усадка металла при переходе из жидкого состояния в твердое;

Передача тепла в жидком и твердом металле происходит за счет теплопроводности и описывается законом Фурье:

q = - ljgradT, плотность теплового потока,Дж/(м2с);

Отливка и форма имеют плотный контакт в период всего процесса затвердевания (что реально для ПГФ);

теплоотдача на границе отливка – форма подчиняется закону Ньютона(-Рихтмона): q1(tk)=a(T1к - Tф) – для каждого момента времени tк, где a - коэффициент теплоотдачи, для установившегося режима (автомодельного) a=;

Полученная таким образом содержательная модель и ее графическая интерпретация затвердевания плоской отливки в объемной массивной форме, упрощает формулировку математической модели и достаточно хорошо отражает затвердевание на тепловом уровне, т.е. позволяет получить закон T=f(x;t).

2. Математическая формулировка задачи

Математическая модель формулируется в виде краевой задачи, которая включает следующие положения:

а) Математическое выражение уравнения распределения теплоты в изучаемых средах.

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое имеет смысл связи, между временным изменением температуры и ее пространственным распределением:

Или в соответствии с условием 5 запишем:

; xÌ[0,lo], j= (1)

б) Условия однозначности:

1. Теплофизические характеристики сред

rj, lj, cj, bj, aj, TL, TS

2. Начальные условия

2.1 Считаем, что заливка происходит мгновенно и мгновенно же образуется тончайшая корка твердого металла.

T1н(x, tн)= TS(E) (2)

2.2 Положение фронта затвердевания

t=tнзадан. ,x=0, y(tн)=0 (3)

2.3 Температура металла в отливке

Tj,iн=Tн ; j=2, iÌ(2,n) (4)

2.4 Температура на внешней поверхности формы (контакт форма - атмосфера) и температура формы.

T4н=Tф (5)

3. Граничные условия

3.1 Условия сопряжения на фронте затвердевания (условия Стефана) i=nf

(6)

3.2 Температура на фронте затвердевания

(7)

3.3 Условие теплоотдачи на границе отливка-форма

(8)

- граничное условие третьего рода

3.4 Условие на оси симметрии

(9)

Задача, сформулированная в выражениях (1-9) есть краевая задача, которая решается численным методом.

Аппроксимировав на сетке методом конечных разностей (МКР), получим дискретное сеточное решение.

Ti=f(xi;tk).

Метод расчета

Будем использовать МКР – метод конечных разностей.

Сформулированную краевую задачу дискретизируем на сетке.

= - шаг по пространству постоянный; - шаг по времени переменный

Для аппроксимации задачи на выбранной сетке можно использовать разные методы – шаблоны. Наиболее известные из них для данного типа задач четырех точечный конечно разностный шаблон явный и неявный.

Явный четырех точечный шаблон Неявный четырех точечный шаблон

Использование явного шаблона для каждого временного шага получаем n+1 уравнение с n неизвестными и система решается методом Гауса, но сходимость решения только при очень малых шагах.

Использование неявного шаблона обеспечивает абсолютную сходимость, но каждое из уравнений имеет 3 неизвестных, обычным методом их решить невозможно.