.

Вычисляя далее гауссову кривизну поверхности с таким линейным элементом, Бельтрами обнаружил, что гауссова кривизна плоскости Лобачевского во всех ее точках равна одному и тому же числу , то есть что плоскость Лобачевского можно рассматривать как поверхность постоянной отрицательной кривизны.

Так как всякую поверхность с точки зрения ее внутренней геометрии можно рассматривать как интерпретацию любой поверхности, наложимой на нее, а необходимым и достаточным условием наложимости поверхностей является равенство гауссовых кривизн в соответственных точках поверхностей, Бельтрами сделал вывод, что плоскость Лобачевского может быть интерпретирована любой поверхностью постоянной отрицательной кривизны.

Впоследствии (1900) Гильберт доказал, что всякая поверхность постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве изометрична только части или нескольким частям плоскости Лобачевского, но никогда не изометрична плоскости Лобачевского целиком.

С другой стороны, рассматривая точки евклидовой плоскости с координатами, численно равными «бельтрамиевым координатам» u, v плоскости Лобачевского, Бельтрами получает вторую интерпретацию. Так как координаты u, v связаны условием

, (3)

при этой интерпретации вся плоскость Лобачевского изображается внутренностью круга, ограниченного окружностью

. (4)

Бальтрами показал, что прямые линии плоскости Лобачевского при этом изображаются хордами этого круга, а расстояние токи Р с координатами (u,v) до начала координат 0 равно

. (5)

Хотя Бельтрами не дал формулы для расстояния между двумя произвольными точками и не выяснил, как в его интерпретации изображаются движения плоскости Лобачевского, эта интерпретация Бельтрами явилась первым, правда, неполным, доказательством непротиворечивости плоскости Лобачевского.

Впоследствии появились интерпретации Кэли и Клейна

Лобачевский указывал но связь геометрии с физикой, и хотя его измерения углов с треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье.

Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского.

Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.

Список литературы:

1. Математика XIX века, «Наука», М., 1981

2. Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968

3. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971.

4. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993

5. Клайн М., Математика. Утрата определенности, «Мир», М., 1984