Оглавление

1. Общетеоретическая часть 3

2. Прикладная часть

2.1 Физическая постановка задачи 9

2.2 Упругие свойства материала .9

2.3 Математическая постановка задачи 10

2.4 Аналитическое решение .10

2.5 Иллюстрация распределения напряжений .11

Используемая литература 12

Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 ) 13

Приложение 2. (График распределения напряжений) 14

1. Общетеоретическая часть

Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.

Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:

(1)

Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так:

(2)

В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений . Но в уравнения равновесия (2) не входит , тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2) и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются условия:

(3)

Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:

(4)

Введем также еще две функции F(x1,x2) и y(x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом:

Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2) и y(x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты .

Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец:

Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:

а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:

(5)

где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn.

Обозначим как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что:

а выражение для будет равно:

Теперь введем приведенные коэффициенты деформации, для которых имеет место выражение:

, где i,j=1 6 (6)

Подставим выражение для в обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид:

Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:

(7)

Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой системе величины - константы, величины и D зависят от двух координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат.

Система (7) является системой в частных производных относительно ui и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:

(8)

Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:

(9)

Аналогично с 5-ым уравнением:

(10)

Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим:

(11)

(12)

(13)

Исходя из того, что:

функция D будет иметь вид:

(14)

Тогда с учетом системы (7) получим:

(15)

Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования, сложения и вычитания) получим:

(16)

(17)

Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений через функции F(x1,x2) и y(x1,x2) и группируя получим:

(18)

где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков:

Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами.