Проведём перпендикуляры к стороне CD из точек А, M, B, обозначив их как hA, hM, hB.

Пусть AQ – прямая, параллельная CD, которая пересекает перпендикуляр МК в точке Р. Из подобия треугольников АМР и АВQ или, т.к.

АВ = 3 АМ, , откуда (••).

Рассмотрим тот же четырёхугольник ABCD на рис. 7. Пусть Р – точка пересечения отрезков АС и MD, а Q – точка пересечения отрезков МС и ВL. Площадь треугольника DMC SDMC = DC•hM = =•3•LC•hM =•3•LC•(hA + hB) = LC•hA + LC•hB = SDAL + SBLC.

Рис. 7. В N M А Р Q D K L C

Отсюда, вычитая из равных площадей SDMC и SDAL + SBLC их общую часть SDPL + SLQC, получаем:

SPMQL = SAPD + SQBC, т.е. сумма площадей «крайних» треугольников равна площади «внутренне- го» четырёхугольника.

Сложим площади треуголь- ников DMC и ABL и сравним эту сумму с площадью четырёхугольника АВСD. С одной стороны в сумме «не хватает» площадей «крайних» треугольников APD и QBC, а с другой площадь четырёхугольника PMLQ «лишняя», т.к. присутствует дважды: один раз как составная часть площади треугольника DMC, другой – как часть площади треугольника ABL. Но поскольку SPMQL = SAPD + SQBC, то получается, что

SABCD = SDMC + SABL.

В силу того, что KL составляет от DC, площадь треугольника MLK составляет от площади треугольника DMC. Аналогично площадь треугольника MNL составляет от площади треугольника ABL. Значит, площадь четырёхугольника MNKL составляет от площади SDMC + SABL, то есть, от площади всего четырёхугольника ABCD.

Итак, если четырёхугольник разделён на три части двумя прямыми, делящими две противоположные стороны на три равные части (рис. 8.), то площадь средней части составляет одну треть от площади всего четырёхугольника:

Рис. 8. S1 S2 S3

, откуда (•••), иными словами, площади S1, S2, S3 составляют арифметическую прогрессию. 4.

Другая вспомогательная задача: в каком отношении выше названные прямые делят друг друга?

Оставим из четырёх прямых две: LN и RT. Из того, что BN и BR состав- ляют одну треть от АВ и ВС соответственно, а DT и DL две трети от DA и DC, следует, что треугольник BNR подобен треугольни- ку АВС, а треугольник DTL – треугольнику ADC. Значит, NR cоставляет одну треть от АС, а TL – две трети от АС, т. е. NR : TL = 1 : 2. Кроме того, NR и TL параллельны АС, а значит, параллельны друг другу. Но тогда треугольники ONR и OTL подобны, и ON : OL = OR : OT = 1 : 2. Отсюда следует, что те самые исходные прямые в четырёхугольнике АВСD делят друг друга на три равные части.

Заметим, что если разделить четырёхугольник не четырьмя, а другим количеством прямых так, чтобы его противоположные стороны разделились ими на равные части, то каждая из этих прямых разделилась бы на равные части. Докажем это.

Рис. 10. N В А T О R D L C