В содержательных умозаключениях мы оперируем, по существу, не с самими высказываниями, а прослеживаем связь между ситуациями действительности, которые эти высказывания представляют. Это и отличает содержательные умозаключения от умозаключений как операций логического характера, называемых иногда формализованными умозаключениями. В этих умозаключениях операции совершаются именно над высказываниями самими по себе, причем по правилам, которые вообще не зависят от конкретного содержания высказываний. Для содержательных умозаключений нет никаких определенных критериев этого рода и всегда возможен спор - рассуждает ли человек правильно или нет. Именно формализованные умозаключения являются предметом изучения логики. И именно их мы имеем в виду в дальнейшем.

В умозаключении, как мы уже говорили, различают посылки - высказывания, представляющие исходное знание, и заключение - высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения.

В естественном языке существуют слова и словосочетания, указывающие как на заключение («значит», «следовательно», «отсюда видно», «поэтому»), так и на посылки умозаключения («так как», «поскольку», «ведь»). Представляя суждение в некоторой стандартной форме, в логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, хотя в естественном языке их порядок может быть произвольным: вначале заключение - потом посылки; заключение может находиться «между посылками».

Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования. Учитывая эту связь, мы различаем правильные и неправильные умозаключения.

Умозаключение, представляющее собой переход от посылок к заключению, является правильным, если между посылками и заключением имеется отношение логического следования. В противном случае - если между посылками и заключением нет такого отношения - умозаключение неправильно.

В делении умозаключений на правильные и неправильные мы должны различать отношение логического следования двух видов – дедуктивное и индуктивное. Первое гарантирует истинность заключения при истинности посылок. Второе - при истинности посылок - обеспечивает лишь некоторую степень правдоподобия заключения (некоторую вероятность его истинности). Соответственно этому умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Первые иначе еще называют демонстративными (достоверными), а вторые - правдоподобными (проблематичными).

Мы можем заключить, что учителю, как специалисту, необходимо знать и уметь строить умозаключения. Именно от качества знания этого вопроса зависит реализация поставленных нами целей и задач. Но для того, чтобы более подробно рассмотреть этот вопрос на практике, нам надо увидеть роль и место, занимаемое дедуктивными умозаключениями в курсе математики начальных классов.

1. 4. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов.

Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается, прежде всего, в их тесной связи с индуктивными. Собственно поэтому и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения как таковые отсутствуют в курсе математики начальных классов. Здесь дело в том, что для сознательного проведения дедуктивных умозаключений при решении задач необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления младшего школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением. Для того чтобы учащиеся более осознанно могли пользоваться дедуктивными умозаключениями при решении задач, необходимо проводить пропедевтику по исследуемой теме. Начинать надо с самого элементарного и далее продвигаться к более сложным заданиям, таким, как решение нестандартных математических задач.

Например: приступая к составлению таблиц, необходимо сосредоточить внимание учащихся на общем выводе. Уже в самом начале обучения мы проводим пропедевтику использования дедуктивных умозаключений. Вот образец рассуждений:

1. Если к числу прибавим один, то получим следующее число;

2. К одному прибавим один, получим следующее число два;

3. К двум прибавим один, получим следующее число три.

При решении примеров на порядок действий рассуждения учащихся носят дедуктивный характер. В качестве общей посылки выступает правило выполнения порядка действий в выражении, в качестве частной – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка действий. Данные знания понадобятся нам в дальнейшем при решении задач и различными формами работы над ней.

«Практика показывает, что для усвоения общих положений, правил, выводов учащимся требуется большое количество конкретных упражнений. Только в результате целенаправленной длительной работы в этом направлении появится возможность для благотворного развития логического мышления младших школьников»[8].

Для того чтобы заинтересовать детей математической логикой мы должны разработать интересные и увлекательные задания, которые дети с удовольствием выполняли бы и которые послужили бы пропедевтикой для решения нестандартных задач. Приведем некоторые задания для примера:

«Ответьте, правильно ли данное рассуждение (умозаключение), Если нет, то почему?»

1. Пианино – это музыкальный инструмент. У Вовы дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома пианино.

2. Классные комнаты надо проветривать. Квартира – это не классная комната. Значит, ее не надо проветривать.

3. Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. В примере 100+100+100+100 все слагаемые одинаковые. Значит сумма 100+100+100+100 – это произведение 100*4.

Можно использовать также задания на продолжение рассуждений, например: Закончи следующие рассуждения:

1. Домашние животные полезны. Лошадь и осел – домашние животные …

2. Все деревья растения. Тополь и березы растения …

3. Если одно число при счете называют раньше, чем другое, то это число меньше. При счете 3 называют раньше 5 …

Описанная выше работа ни в коем случае не превышает требование программы по математике для начальных классов, так как, уделяя значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, доведенных до автоматизма навыков вычисления, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, лежащих в основе изучаемых математических фактов, и осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями. А данную работу нельзя проводить, не формируя у детей умения рассуждать.

Логико-психологические проблемы начальной математики как учебного предмета, в последнее время у нас и за рубежом часто обсуждаются. Вопрос стоит о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не обеспечивают должного развития математического мышления учащихся, не обладают преемственностью и цельностью по отношению к начальной и средней школ.

В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается понятие о ее предмете, об исходных и всеобщих его признаках (работы Н.Бурбаки). Это обстоятельство тесно связано с определением природы самой математической абстракции, способов ее выведения, то есть с логической стороной проблемы, которую нельзя не учитывать при создании учебного предмета.