Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольниковРефераты >> Математика >> Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников
[0 ,h] такие, что
В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка такая, что
Поэтому для полусуммы мы получим следующее выражение:
Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что
(4)
где
. (5)
Так как величина представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене указанной площадью, имеет порядок
Таким образом, формула тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов
И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента равна , мы получим формулу прямоугольников (1), в которой
Здесь . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции
Примеры вычисления определённых интегралов
по формуле прямоугольников.
Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.
П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл .
По формуле Ньютона-Лейбница, получим
Теперь применим формулу прямоугольников
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Сумма .
Таким образом, .
В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.
П р и м е р 2. Вычислим интеграл с точностью до 0,001.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим .
Теперь воспользуемся формулой прямоугольников.
Так как для имеем (если ), то
Если взять n=10, то дополнительный член нашей формулы будет Нам придётся внести ещё погрешность, округляя значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на С этой целью достаточно вычислять значение функции с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .