Приведённая формула называется нормальной, если она не содержит кванторов или если при образовании её из элементарных формул операции связывания квантором следуют за всеми операциями алгебры высказываний.

Если две формулы U и B, отнесённые к некоторому полю M, при всех замещениях переменных предикатов, переменных высказываний и свободных предметных переменных соответственно индивидуальными предикатами, определёнными на M, индивидуальными высказываниями и индивидуальными предметами из M, принимают одинаковые значения И или Л, то мы будем говорить, что эти формулы равносильны на поле M.

Если две формулы равносильны на любых полях M, то мы будем их называть просто равносильными.

Нормальную формулу, равносильную некоторой формуле U, мы будем называть нормальной формой формулы U.

§1. Логика предикатов с одним переменным

Мы будем рассматривать формулы логики предикатов, содержащие предикаты, которые зависят только от одного переменного. Логика, в которой употребляются только такие выражения, соответствует той, которая описана Аристотелем и вошла как традиционный элемент в систему гуманитарного образования. Известные формы высказываний этой логики и формы умозаключений, так называемые «модусы силлогизмов», выражаются полностью в символике логики предикатов от одного переменного.

Теорема. Если формула логики предикатов, содержащая только предикаты от одного переменного, выполнима на некотором поле M, то она выполнима на поле , содержащем не более элементов, где n - число предикатов, входящих в рассматриваемую формулу.

Пусть формула U(A1, ., An), содержащая только символы предикатов A1, ., An, каждый из которых зависит от одного переменного, выполнима на некотором поле M. эту формулу мы можем предполагать представленной в нормальной форме, а все предметные переменные в ней связанными. В самом деле, какова бы ни была формула U, мы можем, произведя над ней преобразования, привести её к виду, в котором все кванторы предшествуют остальным символам формулы, при этом состав её предикатов и предметных переменных не изменяется. Если в U есть свободные предметные переменные, то можно связать их квантором общности.

Итак, допустим, что U – нормальная формула. Тогда мы можем представить её следующим образом:

(s x1)(s x2) .(s xp) B(A1, ., An, x1, ., xp),

где каждый из символов (s xi) обозначает квантор ("xi) или ($xi), а формула

B(A1, ., An, x1, ., xp)

кванторов не содержит.

В формуле B(A1, ., An, x1, ., xp) все переменные x1, ., xp входят в предикаты A1, ., An, и её можно записать в виде

B(A1(), ., An()),

где i1, ., in – числа от 1 до p. Однако, будет удобнее пользоваться выражением

B(A1, ., An, x1, ., xp),

если иметь в виду, что B является логической функцией предикатов Ak, а каждый предикат Ak зависит от какого-то одного переменного .

Покажем, что если для некоторого поля M существуют индивидуальные предикаты

, ., ,

для которых формула U(, ., ) истинна, то эта формула истинна и на некотором подмножестве этого поля, содержащем не более элементов, так как иначе наше утверждение тривиально. Разобьём элементы множества M на классы следующим образом. Для каждой последовательности, содержащей n символов И и Л в произвольном порядке (И, Л, Л, ., И,), существует часть (может быть, пустая) множества M, содержащая те и только те элементы x, для которых последовательность значений предикатов (x), (x), ., (x) совпадает с данной последовательностью символов И и Л.

Обозначим через 1, 2, .,n

последовательность символов И и Л, где i представляет собой И или Л, а соответствующий этой последовательности класс элементов x обозначим

, , ., .

Некоторые из этих классов могут оказаться пусты, так как может случиться, что для некоторой последовательности 1, 2, .,n не существует такого элемента, для которого предикаты , , ., принимают соответствующие значения 1, 2, .,n . Вместе с тем каждый элемент множества M принадлежит одному из классов , и различные классы общих элементов не имеют. Число всех классов (пустых и непустых) равно числу последовательностей 1, 2, .,n, т. е. . Следовательно, число q непустых классов не превышает . Выберем из каждого непустого класса по одному элементу и обозначим эти элементы

a1, a2, ., aq.

Множество всех этих элементов обозначим .докажем, что если формула U(, ., ) истинна на поле M, то она истинна и на поле (так как –­ часть поля M, то предикаты определены на ). каждому элементу x поля M поставим в соответствие элемент из , принадлежащий тому же классу, что и х. В существует один и только один такой элемент. Элемент из , поставленный в соответствие х, обозначим (х). Можно сказать, что мы построили функцию, определённую на множестве M и принимающую значения из множества .