О Г Л А В Л Е Н И Е

Введение

Глава 1. Общие сведения о сингулярном разложении и сингулярных матрицах

1.1. Ортогональное разложение посредством сингулярного разложения

1.2. Вычисление сингулярного разложения

Глава 2. Применение сингулярных матриц при многомерном анализе химических данных факторными методами

2.1. Общие сведения о факторных методах

2.2. Операции с матрицами и многомерный анализ данных

2.3. Свойства сингулярной матрицы

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Как известно, химия часто оказывается на перекрестке разных дисциплин. Для химика всегда есть большой соблазн в том, чтобы заняться какой-то чрезвычайно узкой областью, где он останется защищенным от всех превратностей, наслаждаясь удобством положения единст­венного в своем роде специалиста. Чтобы постоянно быть в курсе дела и в готовности встретить любую новую ситуацию, химику требуется быть знако­мым с огромным объемом информации, необходимой не только для движения вперед, но и просто для сохранения своего положения.

При написании данного реферата была использована следующая литература, содержащая информацию о сингулярных матрицах и применении их в химии:

· книга «ЭВМ помогает химии» (пер. с англ) под ред. Г. Вернена, М. Шанона, в которой рассмотрено применение ЭВМ в различных областях химии: синтез органических соединений, кристаллография, масс-спектрометрия и т. д.

· книга Ч.Лоусона и Р.Хенсона «Численное решение задач метода наименьших квадратов» (пер. с англ), посвященная изложению численных решений линейных задач метода наимень­ших квадратов.

Глава 1. Общие сведения о сингулярном разложении и сингулярных матрицах

1.1. Ортогональное разложение посредством сингулярного разложения

В этом пункте данного реферата будет описано одно практически полезное ортогональ­ное разложение т x n - матрицы А. Мы покажем здесь, что невырожденную под­матрицу R матрицы A можно еще более упростить так, чтобы она стала невырожден­ной диагональной матрицей. Получаемое в результате разложение особенно полезно при анализе влияния ошибок входной информации на решение задачи НК.

Это разложение тесно связано со спектральным разложением симметрич­ных неотрицательно определенных матриц ATA и AAT.

Теорема (сингулярное разложение). Пусть А - m x n -матрица ранга k. Тогда существуют ортогональная m x m матрица U, ортогональ­ная n x n -матрица V и диагональная m x n -матрица S) такие, что

Матрицу S можно выбрать так, чтобы ее диагональные элементы составля­ли невозрастающую последовательность; все эти элементы неотрицательны и ровно k из них строго положительны.

Диагональные элементы S называются сингулярными числами А.

Доказательства данной теоремы приводить не имеет смысла во избежание нагромождения множества сложных математических выкладок, прямого отношения к теме, рассматриваемой в данном реферате, не имеющих. Ограничимся следующим численным примером, в котором дано сингулярное разложение матри­цы А вида:

1.2. Вычисление сингулярного разложения

Рассмотрим теперь построение сингулярного разложения т Х n - матрицы в предположении, что т > п. Сингулярное разложение будет вычислено в два этапа.

На первом этапе А преобразуется к верхней двухдиагональной матрице посредством последовательности (не более чем из n — 1) преобразований Хаусхолдера

где

Трансформирующая матрица выбирается так, чтобы аннулировать элементы i + 1, ., т столбца i; матрица Hi — так, чтобы аннулировав элементы i + 1, п строки / - 1.

Заметим, что Qn - это попросту единичная матрица. Она включена, чтобы упростить обозначения; Qn также будет единичной матрицей при от = я, но при т > п она, вообще говоря, отличается от единичной.

Второй этап процесса состоит в применении специальным образом адап­тированного QR-алгоритма к вычислению сингулярного разложения матрицы

Здесь - ортогональные матрицы, a S диагональная.

Можно получить сингулярное разложение А:

Сингулярное разложение матрицы В будет получено посредством следующего итерационного процесса:

Здесь - ортогональные матрицы, а Bk- верхняя двухдиагональ­ная матрица для всех k.

Заметим, что диагональные элементы матрицы полученной непосред­ственно из этой итерационной процедуры, не являются в общем случае ни положительными, ни упорядоченными. Эти свойства обеспечиваются специальной последующей обработкой.

Сама итерационная процедура представляет собой (QR-алгоритм Фрэнсиса, адаптированный Голубом и Райншем к задаче вычисления сингулярных чисел.

Глава 2. Применение сингулярных матриц при многомерном анализе химических данных факторными методами

2.1. Общие сведения о факторных методах

Многомерный анализ данных играет все возрастающую роль во многих научных дисциплинах, включая науки о земле, жизнеобес­печении, в социологии, а также менеджменте. Однако в химии эти методы развивались не так быстро. Хотя основы методов были созданы в начале века, а области их применения были опре­делены в тридцатых годах , первые случаи их использова­ния отмечены только в шестидесятых годах. Действительно, наи­более часто применяемыми в хемометрике методами стали фактор­ный анализ (ФА), анализ (метод) главных компонент (МГК) и факторный дискриминантный анализ (ФДА).

Хемометрика преследует две цели :

· извлечение максимума информации за счет анализа химиче­ских данных;

· оптимальное планирование измерительных процедур и экспе­риментов.

Первая цель может быть подразделена на две:

1) описание, классификация и интерпретация химических данных;

2) моделирование химических экспериментов, процессов и их последующая оптимизация.

Из всего многообразия видов обработки наборов химических данных можно выделить некоторые наиболее характерные области применения:

· многокомпонентный анализ спектрометрических или хромато-графических данных различных смесей. Цель анализа — опреде­ление числа компонентов и иногда также их идентификация. Для решения задач, связанных с равновесиями в растворе и сложной кинетикой, используется факторный анализ;