и с учетом ортонормированности базиса, т.е. ‹σ|σ›=1; ‹σ|πс›=0 (независимо от ориентации πс-функции) получаем уравнение:

Совершим равносильные преобразования

В итоге получаем искомое тригонометрическое уравнение

и (3.57)

. (3.58)

Таким образом, все три гибридные орбитали ориентированны вдоль трех лучей, направленных под углом 1200 друг к другу.

3.3.7. Завершая расчеты волновых функций σπ- и σπ2-гибридов, изобразим полярные диаграммы гибридных орбиталей и уровни энергии.

3.3.8. Покажем, что энергия смешанного гибридного состояния отличается от энергий исходных чистых состояний и является их средневзвешенной величиной. Для расчета используем исходный гамильтониан плоского ротатора, для которого σ- π-орбитали являются собственными функциями.

Расчитывая уровни σπ- и σπ2-гибридов, мы имеем возможность продемонстрировать компактность и простоту математических выкладок, основанных на операторных уравнениях с использованием бра- и кет-символов скалярных произведений – интегралов.

Обратимся к 5-му постулату, на основании которого производится расчет средних значений динамических переменных. Энергия σπ-гибрида равна:

. (3.59)

Уровень σπ-гибрида оказался дважды вырожденным и лежащим точно посередине между исходными уровнями σ- и π-орбиталей. При выводе использованно свойство ортонормированности базиса: ‹σ|σ›=1; ‹σ|π› = ‹π|σ› = 0

3.3.9. Энергия σπ2-гибрида рассчитывается аналогично; для краткости записи введем обозначение и получим:

(3.60)

Здесь гибридный уровень трижды вырожден и лежит ближе к π-уровню, котоpый представлен в формуле (3.60) со вдвое большим весом по сравнению с Еσ.

Информация, полученная нами в этом разделе, окажется очень полезной при качественном анализе химической. связи и теории валентности.

3.4. Совместные измерения динамических переменных. Коммутация операторов и соотношения неопределенностей Гейзенберга.

3.4.1. Вновь обратимся к анализу измерений. На основе результатов, полученных в разделах 2.2.3, 2.3.2 и 3.2.2, мы в состояниирешить очень важную проблему, связанную с совместными измерениями различных динамических переменных. Исследуем эту проблему на основе анализа операторных уравнений, имитирующих акты измерений. Последовательному измерению двух величин λ и μ соответствует произведение связанных с ними операторов и , т.е. их последовательное выполнение. Запись означает, что раньше измеряется величина μ, а затем λ. И, обратно, запись отвечает первичному измерению величины λ и затем – величины μ. Таким образом правило о последовательности выполнения операторов таково: произведение означает, что сначала на функцию действует оператор, стоящий непосредственно слева от функции, т.е. , в результате чего получается новая функция, над которой выполняется преобразование, диктуемое оператором .

3.4.2. Вопрос о совместности измерений двух величин сводится к тому, можно ли без последствий изменять порядок измерений. Если результаты не зависят от последовательности измерений, то операторные схемы и должны быть эквивалентными, а их разность будет нулевой:

, (3.61)

или, собирая влево от функции все операторы, получим:

. (3.62)

Формула (3.62) называется коммутационным (перестановочным) соотношением, а разность произведений операторов, записанных в разной последовательности, носит название коммутатора

. (3.63)

3.4.3. Коммутатор равен нулю для величин, которые могут наблюдаться одновременно. Коммутирующие операторы обладают одинаковыми наборами собственных функций. Если же коммутатор отличен от нуля, то совместное измерение величин не имеет смысла, т.е. такой прибор в принципе невозможно построить.

3.4.4. Рассмотрим одновременные измерения величин, у которых произведение их размерностей совпадает с размерностью константы Планка ([энергия]·[время]). Таковыми являются:

а) импульс и координата в одномерном поступательном движении;

б) проекция момента импульса на ось и точное положение, ротатора на орбите при плоском вращении, определяемом углом φ;

в) энергия и время у нестационарной системы.

Для этих трех случаев составим коммутаторы, пользуясь формулами (2.10), (3.24) и (2.19). На основании уравнения (2.19) оператор гамильтона можно заменить оператором . Получаем:

, (3.64)

, (3.65)

(3.66)

В случае (3.66) волновая функция, на которую действует коммутатор, должна содержать временную часть.

Посмотрим, каков результат действий этих коммутаторов на волновую функцию на примере (3.64):

.

Таким образом, исследуемый коммутатор равен