где Rij – доходность по ценной бумаге i за j-й период;

[1,стр.151]

матрица факторов X1-XK за периоды [0 ; T],

где Xij – значение фактора Xi за j-й период;

sп – оценка риска предполагаемого портфеля ценных бумаг.

Теперь необходимо определить доли m1, ., mN имеющихся в инвестиционном портфеле ценных бумаг с целью максимизации доходности в следующем периоде при заданном уровне риска:

[1,стр.153]

где уровень доходности Ri вычисляется как отношение ожидаемой в отчетный период стоимости ценной бумаги Si к курсовой стоимости в момент формирования портфеля за вычетом единицы.

Так, доходность за месяц в момент времени t=1 вычисляется следующим образом:

[1,стр.155]

В случае, когда инвестор не имеет возможностей продавать ценные бумаги без покрытия, вводится дополнительное условие: my>0 , где y – номер соответствующей ценной бумаги.

Вывод: принято группирование ценных бумаг на основе существующих индустриальных и прочих классификаций.

3. Алгоритм оптимизации портфеля с применением кластерного анализа

Предлагаемый алгоритм можно условно разбить на четыре основные стадии:

1) Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры;

2) Определение факторов, влияющих на доходность составляющих каждого кластера. Расчет факторных весов. Построение уравнения регрессии;

3) Прогнозирование динамики выбранных факторов;

4) Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги;

5) Определение оптимального набора ценных бумаг и их долевого веса в инвестиционном портфеле для обеспечения максимизации доходности.

Теперь можно рассмотреть эти стадии подробнее:

1. Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры.

Эта стадия начинается с формирования таблицы эвклидовых расстояний между имеющимися ценными бумагами:

Таблица 1 – Таблица эвклидовых расстояний

Расстояния вычисляются по формуле

[2,стр.223]

Две ценные бумаги с наименьшим расстоянием объединяются в кластер, доходность которого вычисляется как средняя арифметическая доходностей этих ценных бумаг, после чего процедура расчета повторяется. Процесс объединения в кластеры прекращается, когда минимальное расстояние между группами превысит критическое значение:

[2,стр.224]

В результате описанной процедуры, вместо случайного множества ценных бумаг, мы получаем набор упорядоченных кластеров, объединенных на основе общих тенденций в динамике доходности. При этом достигаются сразу две важные цели: во-первых, значительно сокращается количество переменных, что в заметной степени упрощает вычисления, а во-вторых, уменьшается доля воздействия случайных факторов, которые могут в отдельные моменты коррелировать с доходностью отдельных ценных бумаг. В рамках кластера за счет произведенной диверсификации вероятность случайных совпадений уменьшается во много раз, что дает возможность гораздо более ясно определить факторы, реально воздействующие на доходность.

2. Определение факторов, влияющих на доходность составляющих каждого кластера. Расчет факторных весов. Построение уравнения регрессии.

Для того, чтобы вычислить величину влияния каждого фактора на соответствующий кластер ценных бумаг, представим доходность по кластерам в следующем виде:

[2,стр.231]

где Fi – коэффициент фактора Xi в уравнении множественной регрессии,

Et – ошибка в период времени t. При этом величина T должна значительно (не менее чем в пять раз) превышать количество факторов k.

Значимые факторы отбираются при помощи описанного выше метода с применением коэффициентов последовательной детерминации. Факторы отбираются последовательно, а выбор определяется путем максимизации коэффициента

[2,стр.232]

Процесс добавления факторов продолжается до тех пор, пока максимальный скорректированный коэффициент последовательной детерминации не окажется отрицательной величиной. Для любого выбранного количества факторов коэффициенты F1, F2, .,Fk рассчитываются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок регрессии за период базы прогноза:

[2,стр.236]

Этой цели можно достигнуть путем математических преобразований матрицы факторных весов. В настоящее время существует ряд программных пакетов, позволяющих производить данные расчеты с высокой скоростью и за короткое время.

Исследование, проведенное Е.А. Дорофеевым в работе "Влияние колебаний экономических факторов на динамику российского фондового рынка", выявило значительную зависимость курсов акций отечественных компаний от величины ВВП и индекса CPI.

3. Прогнозирование динамики выбранных факторов

Результатом вышеуказанных вычислений является получение формул множественной регрессии для каждого кластера, с помощью которых, опираясь на статистические данные о динамике факторов, можно получить прогноз развития доходности кластеров на последующий период и оценить величину существующего риска. Преимущество прогнозирования факторов по сравнению с прогнозированием курсов отдельных ценных бумаг состоит в наличии значительно большего количества авторитетных исследований по движению макроэкономических факторов, а также статистических сводок органов государственного регулирования.

Четвертый этап будет посвящен переходу от изучения общих кластерных тенденций к расчету индивидуальных уравнений регрессии для каждой из имеющихся ценных бумаг.