Рассмотрим сплайны, в построении которых используются кубические (для одномерных сплайнов — сплайновых кривых) и бикубические (для двумерных сплайнов — сплайновых поверхностей) многочлены. В компьютерной графике подобные сплайны применяются наиболее часто.

Достаточно типичной является следующая задача: по заданному массиву точек на плоскости (2D) или в пространстве (3D) построить кривую, проходящую либо через все эти точки (задача интерполяции), либо вблизи от этих точек (задача сглаживания).

Совершенно естественно возникают вопросы: в каком классе кривых искать решение поставленной задачи? как искать?

А. Случай одной переменной. Обратимся для определенности к задаче интерполяции и начнем рассмотрение с обсуждения правил выбора класса кривых. Ясно, что допустимый класс кривых должен быть таким, чтобы решение задачи было единственным (это обстоятельство сильно помогает в преодолении многих трудностей поиска). Кроме того, желательно, чтобы построенная кривая изменялась плавно.

На плоскости задан набор точек (Xi,Yi), i = 0,1, .,m таких, что х0 < х1 < . < хm

Благодаря тому, что точки заданного набора занумерованы в порядке возрастания Xi, можно искать кривую в классе графиков функции, а основные моменты сглаживания этого дис­кретного набора описывать, ограничившись многочленами.

1. Как известно из курса математического анализа, существует интерполяционный многочлен Лагранжа:

график которого проходит через все заданные точки (Xi,Yi), i = 0,1, .,m

Это обстоятельство и простота описания (заметим, что многочлен однозначно определяется набором своих коэффициентов; в данном случае их число совпадает с количеством точек в задан­ном наборе) являются несомненными достоинствами построенного интерполяционного многочлена.

Однако полезно остановиться и на некоторых недостатках предложенного подхода.

· Степень многочлена Лагранжа на единицу меньше числа заданных точек. Поэтому чем больше точек задано, тем выше степень такого многочлена. И хотя график интерполяционного члена Лагранжа всегда будет проходить через все точки массива, его уклонение (от ожидаемого) может оказаться довольно значительным.

· Изменение одной точки (ситуация, довольно часто встре­чающаяся на практике) требует полного пересчета коэффициентов интерполяционного многочлена и к тому же может существен­но повлиять на вид задаваемой им кривой.

2. Приближенную кривую можно построить и совсем просто: если последовательно соединить точки заданного набора прямолинейными отрезками, то в результате получится ломаная.

Приближенная ломаная

При такой, кусочно-линейной, интерполяции требуется найти всего 2m чисел (каждый прямолинейный отрезок определяется ровно двумя коэффициентами), но, построенная таким образом аппроксимирующая кусочно-линейная функция не обладает нужной гладкостью.

Рассмотрев эти две крайние ситуации, попробуем найти класс функций, которые сохранили бы перечисленные выше достоинства обоих подходов и были бы в известной степени свободны от их недостатков.

Для этого будем использовать многочлены (как и в случае 1) и строить их последовательно, звено за звеном (как и в случае 2).

В результате получится так называемый полиномиальный многозвенник.

При подобном подходе важно правильно выбрать степени привлекаемых многочленов, а для плавного изменения ре­зультирующей кривой необходимо еще тщательно подобрать коэффициенты многочленов (из условия гладкого сопряжения соседних звеньев). То, что получится в результате описанных условий, называют сплайн-функциями или просто сплайнами.

Для того чтобы понять, какое отношение имеют сплайн-функции к чертежным сплайнам, возьмем гибкую стальную линейку, поставим ее на ребро и, закрепив один из концов в заданной точке, поместим ее между опорами, которые располагаются в плоскости ОХУ в точках (Xi,Yi), i = 0,1, .,m таких, что х0 < х1 < . < хm

Рис Приближение сплайном

Функция у = S(x), описывающая профиль линейки, обладает следующими свойствами:

· с довольно большой точностью часть графика этой функции, заключенную между любыми двумя соседними опорами, можно считать многочленом третьей степени;

· на всем промежутке [x0, Xm] функция у = S(x) дважды непрерывно дифференцируемая.

Построенная функция S(x) относится к так называемым интерполяционным кубическим сплайнам.

Достоинства предложенного способа : для решения линейных систем, возникающих в ходе построения сплайн-функций, существует много эффективных методов,эти системы достаточно просты; графики построенных сплайн-функций проходят через все заданные точки, полностью сохраняя первоначально заданную информацию.

Недостатки - изменение лишь одной точки, при описанном подходе, заставляет пересчитывать заново, как правило, все коэффициенты.

Во многих задачах исходный набор точек задается приближенно, и, значит, требование неукоснительного прохождения графика искомой функции через каждую точку этого набора оказывается излишним. В этом случае используются методы сглаживания, при которых можно отказаться от требования строго однозначного проектирования искомой кривой на координатную ось, а поверхности — на координатную плоскость

Опишите два основных метода получения графического изображения на экране монитора

На физическом уровне отображение производится в основном с помощью компьютерных дисплеев. При необходимости получения твердой копии используются принтеры и плоттеры. Основное использование дисплея в качестве оконечного устройства отображения связано с его высоким быстродействием, значительно превышающим скорость реакции человеческого глаза, что особенно важно в системах реального времени и при отображениях анимации и видеоизображении.

Для получения графического изображения на экране дисплея используются два основных метода: векторный (функциональный) и растровый. Векторный метод предполагает вывод графического изображения с помощью электронного луча, последовательно «вычерчивающего» на экране дисплея линии и кривые в соответствии с математической моделью (функцией) этого объекта. «Вычерчивание» — это последовательное засвечивание пикселей экрана. Так как каждый пиксель имеет свою координату (пару чисел), то этот метод преобразует последовательность чисел (вектор) в светящиеся точки. Отсюда название метода. Для того чтобы изображение на экране было неподвижным для глаза человека, луч пробегает по определенным пикселям многократно (не менее 16 раз в секунду).

Векторный метод — наиболее быстродействующий и применяется при выводе относительно несложных графических объектов (графики, чертежи, номограммы и т.п.) при научных и инженерных исследованиях. Еще одним очень важным достоинством метода являются минимальные для графических систем требования к ресурсам ЭВМ (памяти и производительности).