Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности , если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые определяют ее широкое применение в экономических расчетах и в практике статистического исследования.

1) Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной

А=А при А-const.

2) (нулевое) . Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

n

S = (Xi -X) =Sdi=0

i=1

n для первичного ряда и

S = (Xi -X) * fi =S d i * fi = 0 для сгруппированных данных

i=1

( di - линейные ( индивидуальные ) отклонения от средних, т.е хi - хi )

Это свойство можно сформулировать следующим образом :

сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений.

Логически оно означает, что все отклонения и в ту и в другую сторону, обусловленные случайными причинами взаимно погашаются.

3) (минимальное).

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть минимальное:

n n n

S = (Xi -X)2 =S d i2 = min или S = (Xi -X)2 =S ( хi-А )2 где

i=1 i=1 i=1

А= Х ± S, что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения (А), сколь угодно мало отличающегося от средней у выбранной единицы исследуемой совокупности.

Минимальное и нулевое свойства средней арифметической применяются для проверки правильности расчета среднего уровня признака; при изучении закономерности изменения уровней ряда динамики; для нахождения параметров уровня регрессии; при изучении корреляционной связи между признаками.

Средняя гармоническая бывает простой и взвешенной.

Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:

Хгарм.= _n где, n- число индивидуальных значений

n 1 признака.

S -----

i=1 Х i

Однако в статистической практике чаще используют среднюю гармоническую взвешенную. Она используется при расчете общей средней из средних групповых.

Среднюю гармоничную взвешенную определяют по формуле:

n

S * wi

i=1

Х = n-------

S wi

i=1 Xi

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляет собой правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных признаков вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. И находят по формуле:

d= Ö S (C-C)2

----------------

n

Формула взвешенного среднего квадратического отклонения следующая:

_

d=Ö S(C-C)2*f

¾¾¾¾¾¾ где, f- веса.

Sf

2.3.Вариационное исследование статистических данных.

Средняя арифметическая сама по себе недостаточна для обобщающей характеристики совокупности. В средней отражаются общие условия, присущие всей данной совокупности. Но не отражаются индивидуальные , частные условия, порождающие вариацию у отдельных единиц совокупности.

Между тем изучение вариации ( отклонений индивидуальных значений от средней ) имеет большое значение. Во-первых, показатели вариации служит характеристикой типичности, надежности самой средней. Чем меньше вариация, тем средняя более показательна, типична, и на оборот, чем больше индивидуальные значения признака варьируют, колеблются вокруг средней, тем она менее типична; во-вторых, они служат для характеристик и равномерности работы предприятий и их подразделений; в-третьих, изучая вариацию, можно выявить связи и зависимости между явлениями.

Для обобщающей характеристики колеблемости (вариации) используют следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю из абсолютных величин отклонений всех значений от их средней арифметической.

Среднее линейное отклонение (не взвешенное ) определяется по формуле:

S(C-C)

l= ¾¾¾¾ при этом не обращается внимание

n на знаки « + » и « - ».

Средние линейное отклонение дает лишь приближенную характеристику вариации.

Формула взвешенного среднего линейного отклонения имеет вид:

S(C-C)f

l = ¾¾¾¾

Sf где f - веса.

Размах вариации представляет собой разность между наибольшими и наименьшими значениями признака ( Хmax - X min ). Необходимо иметь виду, что размах вариации зависит только от двух крайних значений признака, поэтому он недостаточно отражает его колеблемость.

Коэффициент вариации применяется при изучении колеблемости различных по своему характеру признаков и расчитывается как отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

d

V = ¾¾ * 100

C

Вариация признака происходит под влиянием случайных и систематических причин. Поэтому наряду с общей вариацией различают вариацию , вызванную действием случайных причин, и вариацию систематическую , вызванную действием систематических причин.

Большое научное и практическое значение имеет определение различных видов вариации и роли случайной и систематической вариаций в общей вариации. В связи с этим различают три вида дисперсии: общую, внутригрупповую, межгрупповую.

Общая дисперсия исчисляется по формуле:

S(C-C)2f

dоб2 = ¾¾¾¾

Sf

где dоб2 - общая дисперсия;

Х - средняя арифметическая ( общая для всей изучаемой совокупности );

f - частоты ( веса ) вариантов признака в общей совокупности.

Перейдем к характеристике влияния отдельных причин на вариацию индивидуальных значений признака.

Разделим совокупность на однородные группы. Для каждой группы исчислим среднюю арифметическую и дисперсию. В результате определим внутригрупповую и межгрупповую дисперсии.

Общая дисперсия показывает влияние всех условий на вариацию признака.

Внутригрупповая дисперсия показывает влияние случайных, не учитываемых условий на вариацию признака, т.е не зависит от группового (факторного) признака. Она представляет собой среднюю из частных (групповых) дисперсий и рассчитывается по следующей формуле:

S di2 * fi