g = A + Bx(10)

(11)

Для нахождения коэффициентов А и В берут два конкретных сечения:g 0 – у основания ствола и gL – на расстоянии L от шейки корня и составляют два уравнения, определяющих площади этих сечений:

g0 = A + Bx0 и gL = A + BxL.

В этих уравнениях x 0 = 0, xL= L. Поэтому можем написать

g0 = A; gL = A + BL.

Решая последнее уравнение относительно В, получим

Подставив в формулу (11) вместо A и B вычисленные значения этих коэффициентов и вместо x равную ему величину L, получим

Эта формула называется простой формулой Смалиана.

Возьмём одно поперечное сечение на половине целого ствола или его части, а второе – в тонком конце. Местоположение первого сечения определяется величиной L/2, а второго – на расстоянии Lот основания ствола. Обозначив первое сечение через gL/2, а второе gL, можно написать

Из первого уравнения вычтем второе

Заменив во втором уравнении величину A выражением , получим

Подставим найденные значения A и B в основную формулу (11)

Заменив x через L, получим

Обозначим поперечное сечение на половине ствола или его части gL/2 греческой буквой γ (гамма), тогда формула примет следующий вид:

V = γL.

Эта формула – основная в лесной таксацией. Она называется формулой срединного сечения или формулой объёмов цилиндров.

В рассмотренной формуле были использованы два члена подынтегрального выражения, для более точного результата можно взять три члена подынтегрального выражения. Проведя аналогичные вычисления, получим формулу

Эта формула пригодна для определения объёмов всех тел вращения: цилиндра, параболоида, конуса и нейлоида. И называется она формулой Ньютона. Располагая поперечные сечения в иных точках можно вывести другие формулы, а если ствол разделить на n отрезков длиной l, то получим формулу

Это сложная формула средних сечений. При пользовании рассмотренными выше простыми формулами для определения объёма древесный ствол уподобляют правильному геометрическому телу, в данном случае параболоиду, так как для образующей древесного ствола взято уравнение кубической параболы. Для определения объёма вершинной части применяют формулу объёма конуса V=1/3gh, где g – площадь основания, h – высота.

Из всех полученных формул наиболее удобна формула срединного сечения.

V = γL,

где γ – площадь срединного сечения, а L – расстояние от основания ствола. Эта формула имеет более высокую точность и применяется на практике.

Погрешность измерений

Форма круглого делового леса близка к усечённому конусу. Пусть R – радиус большего, r – радиус меньшего конца бревна. Тогда его почти точный объем (объём усечённого конуса) можно, как известно, найти по формуле

Пусть V1 – значение объёма, вычисленное по упрощённой формуле. Тогда ;

ΔV = V – V1 =>0, т.е. V>V1. Значит, упрощённая формула даёт занижение величины объема. Так как ΔV/V= ¼ (r2+R2-2Rr)/(r2+R2+rR) < ¼, то допускаемая относительная погрешность не превзойдёт 25%. Положим теперь R/r = x. Тогда ΔV/V= ¼(1+x2-2x)/(1+x2+x) = ¼ f(x), 1<x<2.

Отсюда видно, что относительная погрешность не зависит от длины бревна, а определяется отношением R/r. Поскольку f ‘(x) = 3 (x2-1)/(1+x2+x)2>0 при x>1, то функция f возрастает на промежутке [1; 2]. Значит ΔV/V = ¼ f(x)<1/4 f(2)=1/28 при 1<x<2, и относительная погрешность не превосходит 3,6%.

В лесной практике такая погрешность считается вполне допустимой. С большей точностью практически невозможно измерить ни диаметр торцов (ведь они несколько отличаются от кругов), ни длину бревна, поскольку измеряют не высоту, а образующую конуса (длина бревна в десятки раз больше диаметра, и это не приводит к большим погрешностям). Таким образом, на первый взгляд неправильная, но более простая формула для объёма усечённого конуса в реальной ситуации оказывается вполне правомерной. Многократно проводившиеся с помощью специальных методов проверки показали, что при массовом учёте делового леса относительная погрешность при использовании рассматриваемой формулы не превосходит 4%.

Таблицы объёмов древесных стволов

Для определения объёма брёвен, кряжей и др. деловых круглых сортиментов могут быть использованы рассмотренные выше формулы определения объёмов стволов и их частей. Более точно, но с большей затратой труда объём круглого леса можно определить по сложным формулам.

Наиболее широко при вычислении объёмов круглого леса применяется простая формула срединного сечения. Для упрощения работы заранее вычисляют объём брёвен различной длины в зависимости от диаметра, обуславливающего величину поперечного сечения. Полученные данные сводят в таблицу.

Объём круглых лесоматериалов, вычисленный по формуле срединного сечения