g – ускорение свободного падения;

N1 – нормальная реакция в первой точке соприкосновения;

F – сила сопротивления движению клубня, которую будем считать силой сухого (кулонова) трения.

При нахождении клубня на вибрирующей поверхности (y ≡ 0)

(4),

где f – коэффициент трения скольжения, а нормальная реакция определяется из (3):

(5)

Клубень может находиться на вибрирующей поверхности без отрыва от нее (без подбрасывания), если , т.е.

(6)

При выполнения условия (6), что клубни не перебрасываются из зоны вибрационного действия роторов, возникает необходимость анализа вероятности ориентирования клубней при действии вибрации. Для проведения анализа принудительного ориентирования клубней исследуем схему действия сил и моментов на клубень при взаимодействии с ротором.

Рис.3 Схема сил, действующих на клубень (вид сверху)

На основании теоремы о приведении плоской системы сил к данному центру, силу I приложенную в точке опоры О и моментом Му, вращающим ось OY против часовой стрелки в плоскости YOZ представим в виде:

(7)

где r – высота клубня.

Таким образом, на клубень действует некоторый момент стремящийся развернуть ось его вращения в пространстве. На основании вышесказанного момент Му вызывает возникновение другого момента Мх. стремящегося развернуть клубень в плоскости, перпендикулярной действию первого момента

(8)

где - момент инерции клубня относительно оси z1; ω – угловая скорость клубня вокруг оси z; - угловая скорость оси z вокруг центра масс клубня.

Очевидно, что в точке пересечения продолжений линий действия сил реакций находится мгновенный центр вращения клубня. Составим уравнение момента количества движения относительно мгновенного центра О1 и, взяв за параметр, определяющий вращение клубня, угол a, получим

(9)

где - коэффициент трения качения.

Таким образом, получено дифференциальное уравнение вторoгo порядка (9). Решение данного уравнения при начальных условиях имеет вид

(10)

где top – время ориентирования.

Таким образом зависимости (6) и (10) позволяют провести исследование перемещения и ориентирования калибруемых клубней на виброротационной сортирующей поверхности. В качестве условия перемещения клубней по (6) принимается скользящее движение клубней без перебрасывания относительно роторов при их вибрации. Решение уравнения (10) позволяет определить время необходимое для ориентирования клубней относительно калибрующих отверстий. Время ориентирования клубней ограничивается периодом пребывания их в пределах одного ряда калибрующих роторов.

Прямолинейные гармонические колебания без подбрасывания с двусторонним движением и мгновенными остановками, дают хорошие результаты для разделения клубней по ширине или толщине с помощью рабочих поверхностей, имеющих круглые или прямоугольные отверстия. Непрерывный контакт с сепарирующе-калибрующей поверхностью и отсутствие интервалов относительного покоя увеличивает вероятность просеивания клубней из нижнего слоя и уменьшает динамические нагрузки на рабочую поверхность, характерные для интенсивного подбрасывания. Просеивание отдельного клубня при его движении над калибрующим отверстием - явление случайное, вероятность которого для безотрывного движения подчиняется нормальному закону [6, 12] (11) где - скорость центра масс клубня относительно рабочей поверхности; - критическое значение скорости при р0 = 1/2.

Для сферического клубня диаметром d при равномерном движении над прямоугольным отверстием длиной D в горизонтальной плоскости

(12)

где R - коэффициент восстановления нормальной скорости тела при ударе о кромку отверстия.

При движении клубня с подбрасыванием вероятность просеивания существенно уменьшается вследствие уменьшения времени контакта с калибрующей поверхностью. Это происходит не только от увеличения нормальной составляющей ускорения рабочей поверхности и нарушения условия безотрывного движения, но и вследствие отражения клубня вверх при ударе о кромку калибрующего отверстия. Последнее наблюдается при движении тонкого слоя. Увеличение толщины вороха до некоторого оптимального значения Н* увеличивает вероятность просеивания, так как верхние слои, не испытывая непосредственно ударов, препятствуют отрыву от калибрующей поверхности клубней нижнего слоя. При Н > Н* подбрасывания по этой причине не происходит, но избыточное давление верхних слоев увеличивает трение между компонентами нижнего слоя, что затрудняет просеивание последних. Удельная производительность сепарирующе–калибрующей поверхности по проходу q, кг/(м2-с), пропорциональна числу клубней, прошедших над калибрующими отверстиями за 1 с и вероятности ра их просеивания:

(13)

где с - коэффициент пропорциональности, зависящий от «живого» сечения поверхности, концентрации проходового компонента в нижнем слое, плотности и других свойств вороха.

Вблизи значения с увеличением возрастает число клубней, проходящих над отверстием в единицу времени, при незначительно убывающей вероятности Р; при дальнейшем увеличении и решающее влияние на q оказывает существенное уменьшение Р.

Для просеивания клубней, близких по форме к сферическим, оптимальными колебаниями сепарирующе–калибрующей поверхности являются круговые поступательные в горизонтальной плоскости, так как они позволяют обеспечить почти постоянное значение относительной скорости нижнего слоя, близкое к оптимальному. При прямолинейных колебаниях относительная скорость изменяется непрерывно периодически, и ее оптимальное значение .