a I

I 0

α

b

Рисунок 3. Замкнутый проводящий контур.

Силы ампера, действующие на разные участки контура, будут перпендикулярны одновременно и направлению вектора, и сторонам рамки. При этом на стороны а рамки будут действовать силы в плоскости рамки, стремящиеся сжать либо растянуть рамку. На стороны же b будут действовать противоположные силы под углом α к плоскости рамки, которые будут стремиться привести её во вращение. Эти последние две силы образуют пару сил, которая создаёт вращательный момент рамки.

Плечо силы , действующей на каждую из сторон b, равно , сила , следовательно, полный момент пары сил равен:

, (9)

где S=ab- площадь рамки.

Из рисунка 3 видно, что момент направлен вдоль оси вращения. Поэтому выражение для момента можно записать в векторной форме:

. (10)

Таким образом, однородное магнитное поле создаёт вектор момента сил, направленный перпендикулярно вектору и нормали n плоскости контура. Как видно из полученного выражения, момент силы не зависит от координат выбранной точки, а определяется только площадью контура.

Величина называется магнитным моментом тока, протекающего по контуру. Направление совпадает с направлением нормали к контуру. Таким образом, всякий ток, протекающий по замкнутому контуру, можно характеризовать вектором магнитного момента (рис. 4).

S

I

Рисунок 4. Вектор магнитного момента.

В терминах магнитного момента вращательный момент контура можно записать в виде:

. (11)

Отсюда видно, что составляющая магнитной индукции , нормальная к плоскости контура, не вносит вклад во вращательный момент, .

Максимальный момент контура с электрическим током играет такую же роль по отношению к внешнему магнитному полю, что и электрический дипольный момент по отношению к электрическому полю.

Из (11) видно, что величина N будет минимальна (равна нулю) при параллельной , т.е. когда направление поля перпендикулярно плоскости рамки. Таким образом, магнитное поле заставляет контур с электрическим током поворачиваться до тех пор, пока направление нормали к плоскости контура не совпадёт с направлением , причём равновесие будет устойчивым при .

3. Численное решение задачи.

Рассмотрим следующую задачу. Тонкий провод в виде кольца массой m=0,003кг. свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле индукции B=0,00665Тл. По кольцу течёт ток силой I=2А. Найти период Т малых крутильных колебаний контура и составить уравнение колебаний контура.

S

0

R

φ

Рисунок 5. Силы, действующие на контур (виток с током).

Магнитный момент, действующий на виток с током:

.

Момент инерции витка относительно оси вращения:

.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения в данном случае примет вид:

. (12)

Будем рассматривать малые колебания. Тогда: sinφ≈φ. Поэтому из (12):

;

. (13)

Т.к. , то . Тогда из (5):

. (14)

Характеристическое уравнение для (14):

поэтому общее решение для (14):

, (15)

.

Выражение (15) – уравнение гармонических колебаний витка с током в магнитном поле.

Собственная частота колебаний:

; (16)

;

период колебаний:

; (17)

.

Выражение (15) можно представить в виде:

. (18)

отсюда: (19)

Приравниваем (15) и (19):

; тогда:

(20)

(21)